栈的概念和应用

　　栈是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。我们把允许插入和删除的一端称为栈顶(top),另一端称为栈底(bottom),不含任何数据元素的找称为空栈。栈又称为后进先出(Last In First Out)的线性表，简称LIF0结构。

• 理解桟的定义需要注意：首先它是一个线性表，也就是说，栈元素具有线性关系，即前驱后继关系。只不过它是一种特殊的线性表而已。

　　定义中说是在线性表的表尾进行插入和删除操作，这里表尾是指找顶，而不是栈底。它的特殊之处就在于限制了这个线性表的插入和删除位置，它始终只在栈顶进行。这也就使得：栈底是固定的，最先进栈的只能在栈底。栈的插入操作，叫作进栈，也称压栈、入栈。栈的删除操作，叫作出找，也有的叫作弹栈。

　　

　　应用一》中缀表达式转后缀表达式　

　　我们把平时所用的标准四则运算表达式，即“9+(3-1)*3+10/2"叫做中缀表达式。因为所有的运算符号都在两数字的中间，现在我们的问题就是中缀到后缀的转化。

　　中缀表达式“9+(3-1)*3+10/2”转化为后缀表达式“9 3 1-3*+ 10 2/+”

• 规则：从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，若是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分；若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级低于找顶符号（乘除优先加减）则栈顶元素依次出找并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。

　　下面我们来具体看看这个过程。

　　1. 初始化一空栈，用来对符号进出栈使用。

　　2. 第一个字符是数字9，输出9，后面是符号“+”，进栈。

　　3. 第三个字符是“(”,依然是符号，因其只是左括号，还未配对，故进栈。

　　4. 第四个字符是数字3，输出，总表达式为9 3,接着是“-”进栈。

　　5. 接下来是数字1，输出，总表达式为9 3 1，后面是符号“)”，此时，我们需要去匹配此前的“(”，所以栈顶依次出栈，并输出，直到“(”出栈为止。此时左括号上方只有“-”，因此输出“-”，总的输出表达式为9 3 1 -

　　6. 接着是数字3，输出，总的表达式为9 3 1 - 3 。紧接着是符号“*”，因为此时的栈顶符号为“+”号，优先级低于“*”，因此不输出，进栈。

　　7. 之后是符号“+”，此时当前栈顶元素比这个“+”的优先级高，因此栈中元素出栈并输出（没有比“+”号更低的优先级，所以全部出栈），总输出表达式为 9 3 1 - 3 * +.然后将当前这个符号“+”进栈。也就是说，前6张图的栈底的“+”是指中缀表达式中开头的9后面那个“+”，而下图中的栈底（也是栈顶）的“+”是指 “9+(3-1)*3+”中的最后一个“+”。

　　8. 紧接着数字10，输出，总表达式变为9 3 1-3 * + 10。

　　9. 最后一个数字2,输出，总的表达式为 9 3 1-3*+ 10 2

　　10. 因已经到最后，所以将栈中符号全部出栈并输出。最终输出的后缀表达式结果为 9 3 1-3*+ 10 2/+

• 从刚才的推导中你会发现，要想让计算机具有处理我们通常的标准（中缀）表达式的能力，最重要的就是两步：

1. 将中缀表达式转化为后缀表达式（栈用来进出运算的符号）。
2. 将后缀表达式进行运算得出结果（栈用来进出运算的数字）。

　　整个过程，都充分利用了找的后进先出特性来处理，理解好它其实也就理解好了栈这个数据结构。

　　应用二.平衡符号

　　问题描述： 在编写代码并且编译时，难免会因为少写了一个')'和被编译器报错。也就是说，编译器会去匹配 括号是否匹配。当你输入了一个'('，很自然编译器回去检查你是否有另一个')'符号与之匹配。如果所有的括号都能够成对出现，那么编译器是能够通过的。否则编译器会报错。例如字符序列“(a+b)”是匹配的， 而字符序列"(a+b]"则不是。

　　栈的应用：检查每件事情是否能成对出现，算法叙述：做一个空栈。读入字符直到文件结尾。

1. 如果字符是一个开放符号，则将其推入栈中。

2. 如果字符是一个封闭符号，则当栈为空时报错。否则，将栈元素弹出。如果弹出的符号不是对应的开放符号，则报错

3. 在文件结尾，如果栈非空则报错。

　　应用三.后缀表达式计算

　　为了解释后缀表达式的好处，我们先来看看，计算机如何应用后缀表达式计算出最终的结果20的。后缀表达式：9 3 1-3*+ 10 2/+

• 规则：从左到右遍历表达式的每个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。

　　下面是详细的步骤：

　　1. 初始化一个空栈。此桟用来对要运算的数字进出使用。

　　2. 后缀表达式中前三个都是数字，所以9、3、1进栈。

　　3. 接下来是减号“-”，所以将栈中的1出栈作为减数，3出栈作为被减数，并运算3-1得到2，再将2进栈。

　　4. 接着是数字3进栈。

　　5. 后面是乘法“*”，也就意味着栈中3和2出栈，2与3相乘，得到6，并将6进栈。

　　6. 下面是加法“+”，所以找中6和9出找，9与6相加，得到15，将15进栈。

　　7. 接着是10与2两数字进栈。

　　8. 接下来是符号因此，栈顶的2与10出栈，10与2相除，得到5，将5进栈。

　　9. 最后一个是符号“+”，所以15与5出找并相加，得到20，将20进栈。

　　10. 结果是20出栈，栈变为空。

• 果然，后缀表达法可以很顺利解决计算的问题。但是我有个疑问，就是这个后缀表达式“9 3 1-3*+ 10 2/+”是如何通过算式“9+(3-1)*3+10/2”变化而来呢？

  后缀转中缀。