动态规划之背包问题

　　背包问题是一个经典的算法问题，可以用动态规划，贪心法，分支界限法等方法解决。问题描述：有n个物品，编号1,2,3，、、n，其中第 i 个物品重量为Wi 价值 Vi ，有一个容量为W的背包。在容量允许范围内，如何选择物品，可以得到最大的价值。（为了简单起见，假设物品的重量 Wi 和价值Vi 都是正数）

　　今天主要说的是0、1背包问题，解法是动态规划。当然，对于另外两种问题也会有所介绍。

问题分析：

　　用动态规划解问题首先要有效的找出子问题，可以通过这个子问题得推得原问题的解，通常子问题的实质是和原问题相同的，只是规模上的缩小，也就是说子问题和原问题可以有相同的表示形式，问题可通过不断的缩小规模（一般都会有一个界限）能找到子问题的解。

　　这个问题要求解的是能用背包带走的物品的最大价值。定义 m[i,w] 为：用第1,、2、3、、i 个物品装入质量<=W的背包的最大价值。

　　m[i,w]的取值情况分析：

　　　　1）  ，背包的质量为w，里面没有物品，所以它的价值为0；

　　　　2）   ，背包质量为0，所以里面没法装任何东西， 不论前面的 i 是多少，总价值为0；

　　对于任意的第 i 个物品，有两种情况，放进背包或者不放。不要第 i 个物品 如果 则：

　　　　3）因为第i 个物品的重量大于背包的容量，所以不可放入。

　　如果. 那么

　　　　4）  

　　对于第 i 个物品，有两种可选择方案：如果放入背包中，那么 m[i,w]=m[i-1,w-wi]+vi。也就是i的前一个的最大值加上自己的价值。如果不要第i个物品，那么：m[i,w]=m[i-1,w]。也就是 i 的前一个的最大值。因为背包问题最后要取得最大的价值，所以就选这两种情况中价值最大的。

　　在这个问题中，定义子问题： m[i,w] 对于每个子问题，都可通过上面的分析求出。通过3），4）可以发现，每一次求取子问题，问题的规模就被缩小。要么在w 上减小，要么在 i 上减小。最后问题的规模会被缩小为 m[i,0]和m[0,w].而这两个的值都为0，只要逆向思维反推回去，就能逐步得到问题的解。

算法描述

算法实现JAVA版

public class Knapsack {
	static int totalWeight = 10;
	static int[] weight = new int[] { 2, 2, 6, 5, 4 };
	static int[] vaule = new int[] { 6, 3, 5, 4, 6 };
	static int[] x = new int[weight.length];
	static int[][] matri = new int[weight.length + 1][totalWeight + 1];
	static int[] has = new int[weight.length];

	public static void knapsack() {
		for (int i = 0; i <= totalWeight; i++) {
			matri[0][i] = 0;
		}
		for (int i = 0; i <= weight.length; i++) {
			matri[i][0] = 0;
		}

		for (int i = 1; i <= weight.length; i++) {
			for (int j = 1; j <= totalWeight; j++) {
				if (weight[i - 1] > j) {
					matri[i][j] = matri[i - 1][j];
				} else {
					matri[i][j] = Math.max(matri[i - 1][j], matri[i - 1][j
							- weight[i - 1]]
							+ vaule[i - 1]);
				}
			}
		}
	}

	public static void buildSolution() {
		int j = totalWeight;
		for (int i = weight.length; i >= 1; i--) {
			if (matri[i][j] == matri[i - 1][j]) {
				has[i - 1] = 0;

			} else {
				has[i - 1] = 1;
				j = j - weight[i - 1];
			}
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		knapsack();
		buildSolution();
		int sum = 0;
		for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
			if (has[i] == 1) {
				sum += vaule[i];
				System.err.println(i);
			}
		}
		System.out.println(sum);
	}
}