最长公共子序列的长度

                                         最长公共子序列的长度

问题描述：给定两个序列X=<x1, x2,x3,…,xm> 和 Y=<y1, y2, y3,…, yn>, 求X与Y的一个最长公共子序列

问题分析:这个题目的阶段不是明显，没有很明显的上一步、上一层之类的。

既然涉及到公共子序列，也就是有X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等的情况。

显然如果X[i]=Y[j] 那么长度分别为 i 和 j 的最长公共子序列就是长度分别为 i-1 和 j-1的最长公共子序列 加上1.

如果X[i]!=Y[j] 呢？

如果不相等，那么长度为 i 和长度为 j 的序列的最长公共子序列就是“长度为i-1 和 j ” 和“长度为 i 和 j-1 ”中最长公共子序列中较长的一个。

因此可以设计以一个状态f[i, j] 表示起点为 1 ，长度分别为 i 和 j 的最长公共子序列，状态方程可以写为:

(0 <= i <= Len(X) && 0 <= j <= Len(Y))

                      f[i-1, j-1] + 1    x[i]  == y[j]

f[i, j] =          f[i-1, j]                   x[i]   != y[j] && Len(f[i-1, j])>=Len(f[i, j-1])

                      f[i, j-1]                   x[i]   != y[j] && Len(f[i-1, j])<Len(f[i, j-1]) 

                                        

                                                             如上图

附代码：

#include<stdio.h>  
#include<string.h>  
#define MAX_LEN 1000  
char sz1[MAX_LEN];  
char sz2[MAX_LEN];  
int aMaxLen[MAX_LEN][MAX_LEN]; /*MaxLen(i, j)表示s1i 和s2j 的最长公共子序列的长度，那么递推关系如下*/  
int main()  
{  
    while(scanf("%s%s",sz1+1,sz2+1)>0)  
    {  
        int nLength1=strlen(sz1+1);  
        int nLength2=strlen(sz2+1);  
        int nTmp;  
        int i,j;  
        for(i=0;i<=nLength1;i++)  
           aMaxLen[i][0]=0;  
        for(j=0;j<=nLength1;j++)  
           aMaxLen[0][j]=0;  
        for(i=1;i<=nLength1;i++)  
        {  
            for(j=1;j<=nLength2;j++)  
            {  
                if(sz1[i]==sz2[j])  
                    aMaxLen[i][j]=aMaxLen[i-1][j-1]+1;  
                else  
                {  
                    if(aMaxLen[i][j-1]>aMaxLen[i-1][j])  
                        aMaxLen[i][j]=aMaxLen[i][j-1];  
                    else  
                        aMaxLen[i][j]=aMaxLen[i-1][j];  
                }  
            }  
        }  
        printf("%d
",aMaxLen[nLength1][nLength2]);  
    } 
}  

另一种代码，只用一位数组就能搞定，效率挺高，无语了~~~：

#include<iostream>  
#include<cstring>
using namespace std;  
int n,m,maxn,ans,f[1001],i,j;
char a[1001],b[1001];
int main()
{
    cin>>a>>b;
    n=strlen(a);
    m=strlen(b);
    for(int i=0;i<n;i++)  
    {
        maxn=0;
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            int l=f[j];
            if(a[i]==b[j]&&f[j]<maxn+1)f[j]=maxn+1;
            maxn=max(maxn,l);
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++)if(ans<f[i])ans=f[i];
    cout<<ans;
}