拍照与采样

世界的本质是旋转(1)复平面与欧拉公式 - 流浪小狗的窝 - CSDN博客 http://blog.csdn.net/goldenhawking/article/details/51348035

世界的本质是旋转(2) 旋转叠加与傅里叶变换 - 流浪小狗的窝 - CSDN博客 http://blog.csdn.net/goldenhawking/article/details/51352240

世界的本质是旋转3-拍照与采样 - 流浪小狗的窝 - CSDN博客 http://blog.csdn.net/goldenhawking/article/details/51994310

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1.采样是一种观察方法

采样是人类认识、分析连续运动的基本方法。对一个连续的运动，我们用状态方程来描述是可以的，但对稍微复杂的运动，实际上很难找到解析的状态方程，或者即使找到了（很幸运的话），也很难求解。有了照相技术之后，人类便有了研究运动的利器-照片。照相可以把瞬间的状态保留下来慢慢研究，比如高速摄像机可以捕捉蜂鸟扑翅一样，连续多帧影像连贯起来，就可以还原其运动的全貌。 
用类似的方法，让我们考虑一个复平面实轴上的单频率震动： 

s(t)=e2πjft+jθ+e−2πjft−jθ2

该震动由两个互为共轭的旋转分量组成。如果我们用一个快拍相机，对旋转的复平面拍照，就可以观察各个时刻下矢量的位置。这里，我们假设拍照的速率是每秒 fs 次，变量n代表第几次拍摄，则可以直接写出历次拍照时刻： 

t=nfs

把这时间带入， 

p(n)=s(nfs)=e2πjffsn+jθ+e−2πjffsn−jθ2

设，ω=2πffs ,则上式可以简化为 

p(n)=ejωn+jθ+e−jωn−jθ2

这个 ω 究竟是神马意思呢？他的意思是，每次拍照，矢量比上一次拍照的照片转了 ω 弧度。可以看下图：

%gnu octave
f   = 500  ;%Hz
fs  = 4000 ;%Hz
tht = pi/6 ;%phase is 30 degree
omg = 2 .* pi .* f / fs;
n   = [0 , 1];
p_1 = .5 .* exp ( 1j .* omg .* n + 1j .*tht);
p_2 = .5 .* exp (-1j .* omg .* n - 1j .*tht);
hold on;
plot ([-1.2, 1.2],[0,0],'r',[0,0],[-1.2, 1.2],'r');
plot (p_1(1),'r*',[0,real(p_1(1))], [0,imag(p_1(1))],'r-.');
plot (p_2(1),'b*',[0,real(p_2(1))], [0,imag(p_2(1))],'b-.');
plot (p_1(2),'r+',[0,real(p_1(2))], [0,imag(p_1(2))],'r--.');
plot (p_2(2),'b+',[0,real(p_2(2))], [0,imag(p_2(2))],'b--.');
hold off;

• 向量旋转频率 f 为 500Hz
• 拍照频率 fs 为 4000Hz
• 初始相位 θ 为30度(π6)
• 拍两次，分别在 n = 0, n = 1 
  

这里，我们只做了两次观察，n=0时，向量位于正负30度; n=1时，向量位于正负75度，旋转了45度，恰好是 π/4 。

在不知道转动频率 f 的情况下，通过上述现象根据拍照频率 fs可推算 f： 
(1) 既然我拍照的速率 是 fs ，在 1fs 秒这样长的时间，向量旋转了45度，说明，需要8次拍照，向量恰好转一圈。 
(2) 推算出，其旋转频率是拍照速率的 1/8，即 4000 / 8 = 500Hz 
可见，因为拍照频率已知，所以，可以根据离散的照片推算出向量的转速。

从上面的例子，我们引申出采样，是与拍照思路相同的行为。不严格的说，人类通过采样，把连续的自然现象感知为几次离散时刻的观察结果，并思考得到连续现象的本质。

2. 采样速率的选取

在第一章，我们认为，因为拍照频率已知，所以，可以根据离散的照片推算出向量的转速。这个前提其实比较武断，它是有前提的。

2.1 另一组实验

我们接着上面的例子。现在，假设还用一个4000Hz的频率去拍照，研究一对旋转的向量，这个向量的初始相位是-30度，转速是 3500Hz

f   = 3500  ;% Hz
fs  = 4000 ;%Hz
tht = -pi/6 ;%phase is -30 degree
omg = 2 .* pi .* f / fs;
n   = [0 , 1];
p_1 = .5 .* exp ( 1j .* omg .* n + 1j .*tht);
p_2 = .5 .* exp (-1j .* omg .* n - 1j .*tht);
hold on;
plot ([-1.2, 1.2],[0,0],'r',[0,0],[-1.2, 1.2],'r');
plot (p_1(1),'r*',[0,real(p_1(1))], [0,imag(p_1(1))],'r-.');
plot (p_2(1),'b*',[0,real(p_2(1))], [0,imag(p_2(1))],'b-.');
plot (p_1(2),'r+',[0,real(p_1(2))], [0,imag(p_1(2))],'r--.');
plot (p_2(2),'b+',[0,real(p_2(2))], [0,imag(p_2(2))],'b--.');
hold off;

 

上图中，0时刻，红色向量位于-30度; 后顺时针转了315度，在1时刻到达n=1位置（285度）。这种旋转，如果不做染色（红色、蓝色），其观感与第一章中 500Hz, 30度相位的旋转完全一样！

看来，不同转速在一定的拍照速率下，会呈现相同的结果。那末，究竟要拍多快，才能够唯一确定转速呢？这个问题就是奈奎斯特定理。

2.2 奈奎斯特定理

为了解决2.1中的歧义，我们必须用足够快的速度去拍照。 
分析2.1中现象，会发现之所以结果使人糊涂，是因为两次拍照之间，向量旋转超过了180度。这样，我们就搞不清楚第二次拍照时，285度位置上的点，究竟是从-30度顺时针转315度过来的，还是从-30度逆时针转45度过来的。同样，我们就无法推定转速为500Hz还是3500Hz。

换句话说，只有确保两次拍照之间，向量旋转不能高于180度，才能唯一地仅根据照片确定向量的转速。这个条件的不等式：

ω=2πffs<π

稍加变换： 

fs>2f

即必须用两倍以上的采样率进行拍照，才能准确推定转速。

3.进一步深入思考

不仅如此，我们很直观的感觉是，在4000Hz拍照频率下，能够拍出相同照片的转速绝对不止 500Hz, 3500Hz两种。事实上，比这两个转速对应角速率ω 高 fs 整数倍的旋转，观感是一样一样的： 

ω=2πf+m⋅fsfs

如： 4500Hz, 7500Hz, 8500Hz, 11500Hz… 
这很容易理解：每次拍照时，向量已经转了 m 圈了，只是这些圈圈太快了，等我再次按下快门，人家都转完了。 
可以直接修改上述代码：

m   = 10;  % As your wish
fs  = 4000 ;%Hz
f   = 500 + m .* fs ;% Hz
tht = pi/6 ;%phase is 30 degree

或者:

m   = 7;  % As your wish
fs  = 4000 ;%Hz
f   = 3500 + m .* fs ;% Hz
tht = -pi/6 ;%phase is -30 degree

会发现，结果是相同的。接触到这里，已经能够引发思考很多潜在知识点，作为以后的内容吧：

（1）如果我们已知被拍照的旋转大概是多少转，能不能用很低的采样率来精确测量它的转速呢？答案是肯定的。因为知道大概是多少转，就可以知道大概转速为 fs 的多少倍，用 fs 采样，等于是做了 fmod (f, fs) 取余，观察到余数后，再加上整数倍，就可以计算出转速; 换句话说，在有先验知识的情况下，这种低速拍照不损失信息，可以用来拍摄很高速的旋转。（这种行为，在大学课本里，叫做带通采样） 
（2）前面的实验中，已经悄悄引入了一个现象，就是旋转的正反。这个概念好像是日光灯照射的电风扇，在特定转速下，扇叶看起来是反转的——这个现象，在大学课本上，叫做“倒谱”。

看似简单的现象背后，却有非常明确的数学原因。下一部分，我们会看看如何只利用有限的照片，拍摄并分析任意运动的旋转分量，并最终和离散傅立叶变换建立形象与抽象的对应。