[题解] LuoguP3980 [NOI2008]志愿者招募

https://www.luogu.com.cn/problem/P3980

据说这是一道费用流水题线性规划裸题

由于我太菜了，不会线性规划，所以考虑费用流...

有点像这个

同样的把第(1)到(n)天抽象为一条有(n+1)个点的链，然后第(i)天向第(i+1)天连一条容量为(inf-a_i)（这些边用来限制每天需求的志愿者数量），费用为(0)的边。

建立超级源点(S)，汇点(T)，从(S)连一条容量为(inf)，费用为(0)的边到节点(1)，从节点(n+1)连一条费用(0)容量(inf)的边到(T)。

然后对于一种志愿者((s,t,c))，从(s)连一条容量(inf)，费用(c)的边到点(t+1)。

在这张图上跑最小费用最大流就是答案。

为啥？

把这张图动起来看......

如果从(S)沿着(0)费的边向(T)流，由于这些边的流量为(inf-a_i)，所以之前(inf)的流量并不能全部流满

但由于有志愿者边，假设流到了点(x)，那么剩下不能通过边((x,x+1))的流量我就得想办法从(x)连出去的志愿者边支走，并每走(1)的流量就花费(c)的代价

然后在到点(t+1)这些流量又会重新回到原来的流量中，这样就相当于招募了若干名从第(x)天开始工作的志愿者。

可以发现这样最后的最大流一定是(inf)，那么此时的最小费用就是代价。（建议脑补一下...

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;++i)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;--i)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;

const int N=2e5+10,INF=0x3f3f3f3f;

struct MCMF {
    int n,S,T,maxflow,mincost;
    int to[N<<1],cap[N<<1],cost[N<<1],fst[N],nxt[N<<1],flow[N<<1],cnt;
    inline void init(int tn,int s,int t) {
        n=tn,S=s,T=t,cnt=1;
        rep(i,0,n+1) fst[i]=0;
    }

    void ade(int u,int v,int w,int c) {
        to[++cnt]=v,nxt[cnt]=fst[u],fst[u]=cnt;
        cap[cnt]=w,flow[cnt]=0,cost[cnt]=c;
    }
    void addedge(int u,int v,int w,int c) {ade(u,v,w,c),ade(v,u,0,-c);}

    int q[N],vis[N],pre[N],incf[N],d[N],t;
    bool spfa() {
        rep(i,0,n+1) vis[i]=0,d[i]=INF,pre[i]=0,incf[i]=INF;
        pre[S]=0,d[S]=0,vis[S]=1;
        t=1,q[0]=S;
        rep(i,0,t) {
            int u=q[i]; vis[u]=0;
            for (int j=fst[u];j;j=nxt[j]) {
                int v=to[j],w=cost[j];
                if(d[v]>d[u]+w&&cap[j]>flow[j]) {
                    d[v]=d[u]+w;
                    incf[v]=min(incf[u],cap[j]-flow[j]);
                    pre[v]=j;
                    if (!vis[v]) vis[v]=1,q[t++]=v;
                }
            }
        }
        return d[T]!=INF;
    }

    void augment() {
        maxflow+=incf[T];
        mincost+=d[T]*incf[T];
        for (int u=T;u!=S;u=to[pre[u]^1])
            flow[pre[u]]+=incf[T],flow[pre[u]^1]-=incf[T];
    }

    void mcmf() {
        mincost=maxflow=0;
        while (spfa()) augment();
    }
}g;

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
    int s=0,t=n+2;
    g.init(n+5,s,t);
    rep(i,1,n+1) {
        int x; scanf("%d",&x);
        g.addedge(i,i+1,INF-x,0);
    }
    g.addedge(s,1,INF,0);
    g.addedge(n+1,t,INF,0);
    rep(i,1,m+1) {
        int s,t,c;
        scanf("%d%d%d",&s,&t,&c);
        g.addedge(s,t+1,INF,c);
    }
    g.mcmf();
    printf("%d
",g.mincost);
    return 0;
}