[题解] LuoguP4284 [SHOI2014]概率充电器

https://www.luogu.com.cn/problem/P4284

比较套路的概率题？

由期望的线性性可以把每个点拆开来，然后答案就是每个点通电的概率之和。

通电的概率并不怎么好算，我们可以算点(u)不通电的概率(f[u])，然后答案就是

[sumlimits_{i=1}^n 1-f[i] ]

发现一个点要么被子树内的节点电到（这里的子树包括自己）要么由子树外的点发电。

先考虑子树内的好了。

显然(f[u])为所有儿子(v)不会电到(u)的概率之积再乘上(u)自己不发电的概率。所以有转移

[f[u]=(1-p[u])prodlimits_{v in son(u)}(f[v]+(1-w(u,v)) imes (1-f[v])) ]

（(p[u])表示(u)发电的概率，(w(u,v))表示边((u,v))通电的概率）

即对于(v)分两种情况

• (v)没有被电，这时候不管怎样(v)都不会电到(u)
• (v)被电了，这时候就要保证((u,v))这条边不通电

发现这样只能算子树内的答案，乘法显然是可撤销的，于是换根DP就好了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;++i)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;--i)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;

const int N=5e5+10;
vector<pair<int,db>> e[N];
db prob[N];
int n;

db dp[N],f[N];

void dfs(int u,int ff) {
	dp[u]=1-prob[u];
	for (auto ei:e[u]) {
		int v=ei.fi; db w=ei.se;
		if (v==ff) continue;
		dfs(v,u);
		dp[u]*=dp[v]+(1-dp[v])*(1-w);
	}
}
void getans(int u,int ff) {
	for (auto ei:e[u]) {
		int v=ei.fi; db w=ei.se;
		if (v==ff) continue;
		db fu=f[u]/(dp[v]+(1-w)*(1-dp[v]));
		f[v]=dp[v]*(fu+(1-fu)*(1-w));
		getans(v,u);
	}
}

int main() {
	scanf("%d",&n);
	rep(i,0,n-1) {
		int u,v; db w;
		scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w),w*=0.01;
		e[u].pb(mp(v,w));
		e[v].pb(mp(u,w));
	}
	rep(i,1,n+1) scanf("%lf",&prob[i]),prob[i]*=0.01;
	dfs(1,0);
	f[1]=dp[1];
	getans(1,0);
	db ans=0; rep(i,1,n+1) ans+=1-f[i];
	printf("%.6lf
",ans);
	return 0;
}