[题解] LuoguP4221 [WC2018]州区划分

https://www.luogu.com.cn/problem/P4221

首先是一个DP，令(dp(S))表示考虑了集合(S)内的点的满意度总和，于是有转移

[dp(S) = frac{1}{f(S)}sumlimits_{T subseteq S} dp(T)g(S - T) ]

其中(f(S))表示集合(S)内所有点(w)的和的(p)次，(g(S) = f(S) imes [S)内点构成的图是否合法(])

显然一张图合法当且仅当它没有欧拉回路。

这样暴力就收获了一个(3^n)的优秀做法。

发现这个DP很像子集卷积，像P6097那样用FWT优化即可。

然后卡常卡个一整页就过了（

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
const int N=22,MOD=998244353;
inline int mul(int a,int b) {return 1ll*a*b-1ll*a*b/MOD*MOD;}
int rinv[2222222];
int inv(int n)
{
    if(n<=1433223) return rinv[n];
    else return n==1?1:mul((MOD-MOD/n),inv(MOD%n));
}
inline int qpow(int a,int b=MOD-2)
{
    if(!a) return 0;
    if(b==0) return 1;
    if(b==1) return a;
    if(b==2) return mul(a,a);
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a),b>>=1;
    }
    return ans;
}
int fa[N],deg[N];
int find(int u) {return u==fa[u]?u:fa[u]=find(fa[u]);}
pii es[222];
int w[22],n,m,p;
int f[1<<22],g[22][1<<22],dp[22][1<<22];
bool chk(int S,int i) {return S&(1<<(i-1));}
int bcnt[1<<22];
void fwt(int *f,int n,int flg)
{
    for(int len=2,k=1;len<=n;len<<=1,k<<=1)
        for(int i=0;i<n;i+=len)
            for(int j=i;j<i+k;j++)
            {
                f[j+k]+=flg*f[j];
                if(f[j+k]<0) f[j+k]+=MOD;
                if(f[j+k]>=MOD) f[j+k]-=MOD;
            }
}
int main()
{
    rinv[1]=1;
    for(int i=2;i<=1433223;i++) rinv[i]=mul(MOD-MOD/i,rinv[MOD%i]);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); int lim=1<<n;
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&es[i].fi,&es[i].se);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    for(int S=0;S<lim;++S)
    {
        int bs=0,os=0,bc=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            fa[i]=i,deg[i]=0;
            if(chk(S,i))
            {
                ++bc,++bs,f[S]+=w[i];
                if(f[S]>=MOD) f[S]-=MOD;
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int u=es[i].fi,v=es[i].se;
            if(chk(S,u)&&chk(S,v))
            {
                ++deg[u],++deg[v];
                int pu=find(u),pv=find(v);
                if(pu!=pv) fa[pv]=pu,--bs;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) os+=deg[i]&1;
        if(bs!=1||os!=0) g[bc][S]=f[S]; else g[bc][S]=0;
        g[bc][S]=qpow(g[bc][S],p);
        if(f[S]) f[S]=qpow(inv(f[S]),p);
        bcnt[S]=bc;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) fwt(g[i],lim,1);
    dp[0][0]=1; fwt(dp[0],lim,1);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<lim;j++)
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                dp[i][j]+=mul(dp[k][j],g[i-k][j]);	
                if(dp[i][j]>=MOD) dp[i][j]-=MOD;
            }
        fwt(dp[i],lim,-1);
        for(int j=0;j<lim;j++)
            dp[i][j]=bcnt[j]==i?mul(dp[i][j],f[j]):0;
        if(i==n) ans=dp[n][lim-1];
        if(i!=n) fwt(dp[i],lim,1);
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}