斜率优化dp

dp的状态和转移方程就足够让人头疼，却还有一些普通dp复杂度不够优秀的题目要用优化。。。
dp的解题方法似乎只能通过讲解题目来完成。

一道例题：

洛谷3195
题目描述
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.
输入输出格式
输入格式：
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
输出格式：
输出最小费用

状态

用f[i]表示前i个玩具最小的费用。

转移

(f[i]=min(f[k]+(sum[i]-sum[k]+i-k-1-L)^2)(0<=k<=i-1))
化简：明显括号里面可以变成(sum[i]-sum[k]-L),只要在预处理的时候将sum[i]++,L++
PS:仅仅是为了好看。。

优化

所以(f[i]=f[k]+(sum[i]-sum[k]-L)^2=f[k]+(sum[i]-L)^2-2 imes sum[k] imes (sum[i]-L])+sum[k]^2)
(f[i]=(sum[i]-L)^2+min(f[k]+sum[k]^2-2*(sum[i]-L) imes sum[k]))
这就符合了斜率优化的一般形式——(f[i]=min(y[j]+k[i]*x[j])+z[i])
然后就可以愉快的斜率优化dp了

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100000;
typedef long long ll;
ll L,c[N],s[N],n,y[N],k[N],a[N],f[N];
int q[N],head=1,tail=1;
ll calc(int x,int y)
{
    return f[x]+s[x]*s[x]-2ll*a[y]*s[x];
}
bool check(int p1, int p2, int p3) {
    return(s[p2]-s[p3])*(y[p1]-y[p3])-(s[p1]-s[p3])*(y[p2]-y[p3])>=0; 
}
int main()
{
    cin>>n>>L;
    L++;
    head=tail=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>c[i];
        c[i]++;
        s[i]=s[i-1]+c[i];
        a[i]=s[i]-L;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(head<tail&&calc(q[head],i)>=calc(q[head+1],i))
            head++;
        f[i]=a[i]*a[i]+calc(q[head],i);
        y[i]=f[i]+s[i]*s[i];
        while(head<tail&&check(q[tail-1],q[tail],i)) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}

其他题目：

洛谷2900

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=50010;
typedef long long ll;
struct node
{
  ll l,h;//l表示长，h表示宽 
}a[N],sta[N];
ll aa[N],bb[N],f[N];
bool cmp(node x,node y)
{
  return x.l!=y.l?x.l<y.l:x.h<y.h;
}
int q[N];
ll calc(int x,int y)
{
  return f[x]+sta[x+1].h*sta[y].l;
}
bool sloep(int p1,int p2,int p3)
{
  return (bb[p3]-bb[p1])*(aa[p2]-aa[p1])-(bb[p2]-bb[p1])*(aa[p3]-aa[p1])>=0;
}
void read(ll &x)
{
  x=0;  ll f=1; char c=getchar();
  while(!isdigit(c))
  {
    if(c=='-') f=-1;
    c=getchar();
  }
  while(isdigit(c))
  {
    x=x*10+c-'0';
    c=getchar();
  }
  x*=f;
}
int main()
{
  int n;
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;++i)
  {
    read(a[i].h);read(a[i].l);
  }
  sort(a+1,a+n+1,cmp);
  int top=0;
  for(int i=1;i<=n;++i)
  {
    while(top&&sta[top].h<=a[i].h) top--;
    sta[++top]=a[i];
  }
  int tail=1,head=1;
  aa[0]=sta[1].h;
  for(int i=1;i<=top;++i)
  {
    while(head<tail&&calc(q[head],i)>=calc(q[head+1],i)) head++;
    f[i]=calc(q[head],i);
    aa[i]=sta[i+1].h;
    bb[i]=f[i];
    while(head<tail&&sloep(q[tail-1],q[tail],i)) tail--;
    q[++tail]=i;
  }
  cout<<f[top];
  return 0;
}

洛谷3628

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1000000+100;
typedef long long ll;
ll f[N],s[N],a,b,c,q[N],y[N],k[N],x[N];
void read(ll &x)
{
  x=0; ll f=1; char c=getchar();
  while(!isdigit(c)){
    if(c=='-') f=-1;
    c=getchar();
  }
  while(isdigit(c))
  {
  	x=x*10+c-'0';
  	c=getchar();
  }
  x*=f;
}
int n;
ll calc(int j,int i)
{
    return y[j]+k[i]*x[j];
}
double sloep(int j,int i)
{
    return 1.0*(y[i]-y[j])/(x[i]-x[j]);
}
int main()
{	
    scanf("%d",&n);
    read(a);read(b);read(c);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        read(s[i]);
        s[i]+=s[i-1];
    }
    int head=1,tail=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        x[i]=s[i];
        k[i]=-a*s[i]*2;
        while(calc(q[head],i)<=calc(q[head+1],i)&&head<tail) head++;
        f[i]=calc(q[head],i)+a*s[i]*s[i]+b*s[i]+c;
        y[i]=f[i]-b*s[i]+a*s[i]*s[i];
        
        while(head<tail&&sloep(q[tail-1],q[tail])<=sloep(q[tail],i)) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n]<<endl;
  return 0;
}