题意
构造一张有(n(3le nle 1000))个点的无向图(无重边和自环)。满足:
- 边的总数为素数
- 所有点的度数均为素数
输出方案
solution
如果所有点的度数确定了。那么边数就是度数之和的一半。连边就很简单了。
所以考虑怎么确定点的度数。
猜想:必有至少一个(A in [2n,3n] (3 le n le 1000))满足(frac{A}{2})为素数。
经测试,成立。
所以可以让所有点的度数都为(2)或(3)只要找到这个(A)作为度数之和。然后边数就是(frac{A}{2})。
设度数为(2)的点有(x)个,度数为(3)的点有(y)个。
列方程:
[left{
egin{aligned}
2x + 3y = A \
x + y = n
end{aligned}
ight.
]
将所有点连成一个环之后,再连(y)条边即可。
code
/*
* @Author: wxyww
* @Date: 2019-07-21 00:20:04
* @Last Modified time: 2019-07-21 07:53:25
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000000 + 100;
#define pi pair<int,int>
int cnt;
ll read() {
ll x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
int tot,dis[N],vis[N],a[N],K;
void Eur() {
for(int i = 2;i <= K;++i) {
if(!vis[i]) dis[++tot] = i;
for(int j = 1;j <= tot && 1ll * dis[j] * i <= K;++j) {
vis[dis[j] * i] = 1;
if(i % dis[j] == 0) break;
}
}
}
int A;
pi ans[N];
priority_queue<pi>q;
int p(int x) {
if(x & 1) return x + 1;
return x;
}
int main() {
int n = read();
K = 100000;
Eur();
for(A = n * 2;A <= n * 3;A ++) {
if(A & 1) continue;
if(!vis[A / 2]) break;
}
int Y = A - n * 2;
int X = n - Y;
for(int i = 1;i <= X;++i) q.push(make_pair(2,i));
for(int i = X + 1;i <= n;++i) q.push(make_pair(3,i));
for(int i = 1;i < n;++i) ans[++cnt] = make_pair(i,i + 1);
ans[++cnt] = make_pair(n,1);
Y /= 2;
for(int i = 1;i <= n;i ++) {
if(Y && !a[i] && !a[i + 2]) ans[++cnt] = make_pair(i,i + 2),Y--,a[i] = a[i + 2] = 1;
}
printf("%d
",cnt);
for(int i = 1;i <= cnt;++i) {
printf("%d %d
",ans[i].first,ans[i].second);
}
return 0;
}