NumPy 基础教程

注：本文是我在阅读 An introduction to Numpy and Scipy 时，一边实践一边记下的笔记。个人觉得这篇介绍 NumPy 的英文文档写的很好，因此如果可以，请停止阅读本文，转去参考此英文文档。

目录

• Arrays
• 其他创建数组的方法
• 数组的数学运算
• 数组的迭代
• 基本的数组操作
• 比较操作
• 数组元素选择和操作
• 向量和矩阵的数学运算
• 随机数

---

Numpy 是在 Python 中进行科学计算所依赖的核心库，它提供高性能的多维数组对象，已经大量便于计算的方法。

可以在 Installing packages 找到安装方法，而后在 Python 中采用如下方式引入它：

import numpy as np

Arrays

NumPy 中的核心对象是多维数组 np.ndarray，它有一个别名 np.array，这个数组和 Python 中的 array.array 不同，Python 中的 array 只支持一维，而 np.array 支持多维，且提供了更多的方法。

np.array 中只能存放同种类型的数据，如下，使用 np.array 创建数组，第二个参数需指明数组中元素的类型，否则 np.array 会自动推测数据类型：

>>> a = np.array([1, 4, 5, 8], float)
>>> a
array([ 1., 4., 5., 8.])
>>> type(a)
<type 'numpy.ndarray'>

np.ndarray 含下面几个常用的属性：

• ndarray.ndim：数组的维度
• ndarray.shape：数组的形状
• ndarray.size：数组中所有元素的数量
• ndarray.dtype：数组中元素的类型
• ndarray.itemsize：每个元素的大小
• ndarray.data：元素数据 buffer

创建多维数组：

>>> a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], float)
>>> a[0, 0]
1

数组创建后可以使用 reshape 来调整维度，可以使用 shape 来得到数组的维度：

>>> a = np.array(range(10), float)
>>> a
array([ 0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.])
>>> a = a.reshape((5, 2))
>>> a
array([[ 0., 1.],
    [ 2., 3.],
    [ 4., 5.],
    [ 6., 7.],
    [ 8., 9.]])
>>> a.shape
(5, 2)

Python中 list 的切片操作，同样适用，对个维度需要使用 , 隔开：

>>> a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], float)
>>> a[1,:] # 第二行的所有列
array([ 4., 5., 6.])
>>> a[:,2]
array([ 3., 6.])
>>> a[-1:,-2:] # 最后一行的后两列
array([[ 5., 6.]])

copy 能够生成数组的一份拷贝：

>>> a = np.array([1, 2, 3], float)
>>> b = a
>>> c = a.copy()
>>> a[0] = 0
>>> a
array([0., 2., 3.])
>>> b
array([0., 2., 3.])
>>> c
array([1., 2., 3.])

fill 方法给数组统一填充某个值：

>>> a = array([1, 2, 3], float)
>>> a
array([ 1., 2., 3.])
>>> a.fill(0)
>>> a
array([ 0., 0., 0.])

transpose 方法用来得到二维数组的转置：

>>> a = np.array(range(6), float).reshape((2, 3))
>>> a
array([[ 0., 1., 2.],
 [ 3., 4., 5.]])
>>> a.transpose()
array([[ 0., 3.],
       [ 1., 4.],
       [ 2., 5.]])

多维数组能够被展平：

>>> a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], float)
>>> a
array([[ 1., 2., 3.],
 [ 4., 5., 6.]])
>>> a.flatten()
array([ 1., 2., 3., 4., 5., 6.])

多个数组可以使用 concatenate 拼接起来：

>>> a = np.array([1,2], float)
>>> b = np.array([3,4,5,6], float)
>>> c = np.array([7,8,9], float)
>>> np.concatenate((a, b, c))
array([1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.])

如果有多个维度，默认（不指定 axis 时）是按第一个维度拼接的

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]], float)
>>> b = np.array([[5, 6], [7,8]], float)
>>> np.concatenate((a,b))
array([[ 1., 2.],
       [ 3., 4.],
       [ 5., 6.],
       [ 7., 8.]])
>>> np.concatenate((a,b), axis=0)
array([[ 1., 2.],
       [ 3., 4.],
       [ 5., 6.],
       [ 7., 8.]])
>>> np.concatenate((a,b), axis=1)
array([[ 1., 2., 5., 6.],
       [ 3., 4., 7., 8.]])

一个数组的维度，可以借助 newaxis 来增加：

>>> a = np.array([1, 2, 3], float)
>>> a
array([1., 2., 3.])
>>> a[:,np.newaxis]
array([[ 1.],
       [ 2.],
       [ 3.]])
>>> a[:,np.newaxis].shape
(3,1)
>>> a[np.newaxis,:]
array([[ 1., 2., 3.]])
>>> a[np.newaxis,:].shape
(1,3)

其他创建数组的方法

np.arange 和 range 类似，只是前者返回一个数组：

>>> np.arange(5, dtype=float)
array([ 0., 1., 2., 3., 4.])
>>> np.arange(1, 6, 2, dtype=int)
array([1, 3, 5])

zeros 和 ones 用来创建指定维度的数组，并填充 0 和 1：

>>> np.ones((2,3), dtype=float)
array([[ 1., 1., 1.],
       [ 1., 1., 1.]])
>>> np.zeros(7, dtype=int)
array([0, 0, 0, 0, 0, 0, 0])

zeros_like 和 ones_like 创建和给定数组维度相同的新数组，并填充 0 和 1：

>>> a = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], float)
>>> np.zeros_like(a)
array([[ 0., 0., 0.],
       [ 0., 0., 0.]])
>>> np.ones_like(a)
array([[ 1., 1., 1.],
       [ 1., 1., 1.]])

identity 方法用来一个指定阶数的单位矩阵：

>>> np.identity(4, dtype=float)
array([[ 1., 0., 0., 0.],
       [ 0., 1., 0., 0.],
       [ 0., 0., 1., 0.],
       [ 0., 0., 0., 1.]])

eye 方法用来创建一个指定阶数的矩阵，其指定(k)对角线上值为 1：

>>> np.eye(4, k=1, dtype=float)
array([[ 0., 1., 0., 0.],
       [ 0., 0., 1., 0.],
       [ 0., 0., 0., 1.],
       [ 0., 0., 0., 0.]])

数组的数学运算

当将标准数学运算作用于数组上时，这样运算会分别在数组的各个元素上进行，这意味着进行运算的两个数组的大小需要一致：

>>> a = np.array([1,2,3], float)
>>> b = np.array([5,2,6], float)
>>> a + b
array([6., 4., 9.])
>>> a – b
array([-4., 0., -3.])
>>> a * b
array([5., 4., 18.])
>>> b / a
array([5., 1., 2.])
>>> a % b
array([1., 0., 3.])
>>> b ** a 
array([5., 4., 216.])

对于二维数组间的乘法，依然是元素与元素相乘，而非矩阵乘法：

>>> a = np.array([[1,2], [3,4]], float)
>>> b = np.array([[2,0], [1,3]], float)
>>> a * b
array([[2., 0.], [3., 12.]])

当数组长度不匹配的时候就会出错：

>>> a = np.array([1,2,3], float)
>>> b = np.array([4,5], float)
>>> a + b
Traceback (most recent call last):
 File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: shape mismatch: objects cannot be broadcast to a single shape

但是，数组的维度不匹配时，NumPy 有一种广播机制，能够让运行进行下去，通常是将现有的数组进行重复，以完成运算：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]], float)
>>> b = np.array([-1, 3], float)
>>> a
array([[ 1., 2.],
       [ 3., 4.],
       [ 5., 6.]])
>>> b
array([-1., 3.])
>>> a + b
array([[ 0., 5.],
       [ 2., 7.],
       [ 4., 9.]])

这里一维数组 b 被扩展为二维，扩展后与数组 a 有相同的 shape，如此以来就可以进行运算。

在基本数学运算符的基础上，NumPy 增加了一些常见的属性数学运算函数：abs, sign, sqrt, log, log10, exp, sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh, arcsinh, arccosh, arctanh。

>>> np.sqrt(a)
array([ 1., 2., 3.])

floor, ceil, rint 分别对浮点数向下、向上、四舍五入取整。

>>> a = np.array([1.1, 1.5, 1.9], float)
>>> np.floor(a)
array([ 1., 1., 1.])
>>> np.ceil(a)
array([ 2., 2., 2.])
>>> np.rint(a)
array([ 1., 2., 2.])

np.pi 为圆周率，np.e 为自然常数：

>>> np.pi
3.1415926535897931
>>> np.e
2.7182818284590451

数组的迭代

可以像迭代 list 一样迭代 np.array：

>>> a = np.array([1, 4, 5], int)
>>> for x in a:
... print x
... <hit return>
1
4
5

对于多维数组，迭代会在第一维上进行：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]], float)
>>> for x in a:
... print x
... <hit return>
[ 1. 2.]
[ 3. 4.]
[ 5. 6.]

对于多维数组迭代，可以使用解构：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]], float)
>>> for (x, y) in a:
... print x * y
... <hit return>
2.0
12.0
30.0

基本的数组操作

有些运算需要作用于整个数组上，比如求和、求均值等。

>>> a = np.array([2, 4, 3], float)
>>> a.sum() # 求和
9.0
>>> a.prod() # 所有元素连乘
24.0

可以在 array 元素上调用方法，也可以使用在 np 上的函数：

>>> np.sum(a)
9.0
>>> np.prod(a)
24.0

在涉及统计的时候，常常会用到下列函数：

>>> a = np.array([2, 1, 9], float)
>>> a.mean() # 求均值
4.0
>>> a.var() # 方差（variance）
12.666666666666666
>>> a.std() # 标准差
3.5590260840104371

可以使用 max 和 min 求最大、最小值：

>>> a = np.array([2, 1, 9], float)
>>> a.min()
1.0
>>> a.max()
9.0

argmax 和 argmin 返回数组中，最大和最小元素的下标：

>>> a = np.array([2, 1, 9], float)
>>> a.argmin()
1
>>> a.argmax()
2

对于多维数组，上面提到的针对数组的方法，可以接受一个参数 axis，用来指明这些方法作用的轴。即，对于二维数组而言，是针对行，还是针对列。

>>> a = np.array([[0, 2], [3, -1], [3, 5]], float)
>>> a.mean(axis=0)
array([ 2., 2.])
>>> a.mean(axis=1)
array([ 1., 1., 4.])
>>> a.min(axis=1)
array([ 0., -1., 3.])
>>> a.max(axis=0)
array([ 3., 5.])

对于多维数组，如果不指定 axis ，那么结果相当于将数组会被展平为一维数组，然后执行该方法。比如：

>>> a = np.array([[0, 2], [3, -1], [3, 5]], float)
>>> a.sum() # 对所有元素求和
12.0

像 list 一样，np.array 也可以进行排序：

>>> a = np.array([6, 2, 5, -1, 0], float)
>>> sorted(a)
[-1.0, 0.0, 2.0, 5.0, 6.0]
>>> a.sort()
>>> a
array([-1., 0., 2., 5., 6.])

使用 clip 将数组中的值，压缩到一个指定范围。

>>> a = np.array([6, 2, 5, -1, 0], float)
>>> a.clip(0, 5) # 小于 0 的数被置为 0，大于 5 的被置为 5
array([ 5., 2., 5., 0., 0.])

使用 unique 对数组去重：

>>> a = np.array([1, 1, 4, 5, 5, 5, 7], float)
>>> np.unique(a)
array([ 1., 4., 5., 7.])

对于二维数组，diagonal 方法能够取得对角线上的元素：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]], float)
>>> a.diagonal() # 并不要求二维数组为方阵
array([ 1., 4.])

比较操作

比较运算能够作用于数组的各个元素上，得到的结果是由布尔值构成的数组：

>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> b = np.array([0, 3, 2], float)
>>> a > b
array([ True, False, False], dtype=bool)

>>> a == b
array([False, True, False], dtype=bool)
>>> a <= b
array([False, True, True], dtype=bool)

>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> a > 2 # 可以和一个常数进行比较
array([False, True, False], dtype=bool)

any 和 all 方法能够作用于数组上：

>>> c = np.array([ True, False, False], bool)
>>> any(c) # 数组中是否至少有一个 True
True
>>> all(c) # 数组中是否全为 True
False

对于布尔数组，可以利用 logical_and, logical_or, logical_not，在上面进行与或非等布尔运算：

>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> np.logical_and(a > 0, a < 3)
array([ True, False, False], dtype=bool)
>>> b = np.array([True, False, True], bool)
>>> np.logical_not(b)
array([False, True, False], dtype=bool)
>>> c = np.array([False, True, False], bool)
>>> np.logical_or(b, c)
array([ True, True, False], dtype=bool)

where 可以实现在两个数组中选择元素来构造新数组：

>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> np.where(a != 0, 1 / a, a)
array([ 1. , 0.33333333, 0. ])

这里 a != 0 会得到一个含布尔值的数组 [False, True, False]， where 根据这个数组中的值，如果为 False 就选第三个数组中对应的值，否则选择第二个数组中对应的值。

当然，也可以用于常数：

>>> np.where(a > 0, 3, 2)
array([3, 3, 2])

有时候需要得出数组中符合某种条件的元素的下标，此时可以使用 nonzero 方法：

>>> a = np.array([[1, 0], [0, 3]], float)
>>> a.nonzero()
(array([0, 1]), array([0, 1]))

nonzero 返回非 0 元素的下标，其结果是一个元组，元组的长度和数组 a 的维度相当，元组中每个元素又是一个数组，其中第一个数组中的值为第一个维度的下标，第二个数组为第二维度，以此类推。上例中结果说明 a[0, 0] 和 a[1, 1] 为非零元素。

对于布尔值构成的数组，nonzero 返回值为 True 的元素的下标，因此可以用下面的方法，找出值大于 2 的元素的下标：

>>> a = np.array([[1, 0], [0, 3]], float)
>>> np.nonzero(a > 2)
(array([1]), array([1]))

要想找出符合条件的值，而非下标，可以将 nonzero 的结果作为下标来取值：

>>> a = np.array([[1, 0], [0, 3]], float)
>>> a[np.nonzero(a > 2)]
array([3.])

利用 np.isnan 和 np.isfinite 可以判断元素值是否为 NaN 或 无穷：

>>> a = np.array([1, np.NaN, np.Inf], float)
>>> a
array([ 1., NaN, Inf])
>>> np.isnan(a)
array([False, True, False], dtype=bool)
>>> np.isfinite(a)
array([ True, False, False], dtype=bool)

数组元素选择和操作

要取得 np.array 中的值，可以在 [] 中放入适当的下标：

>>> a = np.array([[1, 0], [0, 3]], float)
>>> a[0, 0] # 使用两个维度上的下标来索引
1.0
>>> a[(0, 0)] # 使用元组
1.0

# 两个数组，分别指定两个维度的下标，这样可以一次取出多个值
>>> a[([0, 1], [0, 1])]
array([1., 3.])

# 使用数组也能达到同样效果
>>> a[[0, 1], [0, 1]]
array([1., 3.])

另外 np.array 还支持使用 np.array 来索引，如使用布尔数组来索引：

>>> a = np.array([[6, 4], [5, 9]], float)
>>> a >= 6
array([[True, False],
       [False, True]], dtype=bool)
>>> a[a >= 6]
array([ 6., 9.])

这里 a >= 6 和 a 有相同的 shape，a[a >= 6] 则返回 a >=6 中值为 True 的位置在 a 中所对应的元素。

还可以使用更加复杂的表达式：

>>> a[np.logical_and(a > 5, a < 9)]
>>> array([ 6.])

但本质就是通过一个含布尔值的 np.array 来进行索引。

一个 np.array 作为另一个的下标：

>>> a = np.array([2, 4, 6, 8], float)
>>> b = np.array([0, 0, 1, 3, 2, 1], int)
>>> a[b]
array([ 2., 2., 4., 8., 6., 4.])

take 方法，可以帮助取值：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]], float)
>>> a
array([[1., 2.],
       [3., 4.]])
>>> a.take(3) # 相当于 a[1][1]
4.0
>>> a.take([0, 1]) 
array([1., 2.])
>>> a.take(0, axis=0) # 相当于 a[0, :]
array([1., 2.])
>>> a.take(0, axis=1) # 相当于 a[:, 0]
array([1., 3.])

对于多维数组，take 如果不传入 axis 参数，就相当于将多维数组展平为一维数组后，再索引一样。

如果想要给指定下标的位置赋值，可以用到 put 方法：

>>> a = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5], float)
>>> b = np.array([9, 8, 7], float)
>>> a.put([0, 3], b)
>>> a
array([ 9., 1., 2., 8., 4., 5.])

put 的第一个参数为索引，第二个参数为要赋的值。这里的下标是数组展平后的索引。注意到上例中中，7 并没有被赋入 a，这是因为索引只有两个。

当索引够长，而值不够是，值能够进行扩展。

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]], float)
>>> a.put([0, 1, 2, 3],  [1,2])
>>> a
array([[1., 2.],
       [1., 2.]])
>>> a.put([0, 1, 2, 3],  5)
>>> a
array([[5., 5.],
       [5., 5.]])

向量和矩阵的数学运算

完成向量的点乘和矩阵的乘法，需要用到 dot 方法：

>>> a = np.array([1, 2, 3], float)
>>> b = np.array([0, 1, 1], float)
>>> np.dot(a, b)
5.0

对于向量，inner, outer, cross 可用于计算內积、外积、和叉乘：

>>> a = np.array([1, 4, 0], float)
>>> b = np.array([2, 2, 1], float)

>>> np.outer(a, b)
array([[ 2., 2., 1.],
       [ 8., 8., 4.],
       [ 0., 0., 0.]])
>>> np.inner(a, b)
10.0
>>> np.cross(a, b)
array([ 4., -1., -6.])

在 np.linalg 中有大量涉及线性代数的计算函数，如：

>>> a = np.array([[4, 2, 0], [9, 3, 7], [1, 2, 1]], float)
>>> a
array([[ 4., 2., 0.],
       [ 9., 3., 7.],
       [ 1., 2., 1.]])
>>> np.linalg.det(a) # 得出行列式的值
-53.999999999999993

>>> vals, vecs = np.linalg.eig(a) # 得出特征值和特征向量

随机数

在子模块 np.random 中有若干函数来支持随机数生成。其中用到伪随机数生成算法，需要设置种子：

>>> np.random.seed(293423)

生成一组介于 [0, 1) 的随机数：

>>> np.random.rand(5)
array([ 0.40783762, 0.7550402 , 0.00919317, 0.01713451, 0.95299583])

也可以是多维的：

>>> np.random.rand(2,3)
array([[0.02258773, 0.45209532, 0.91634883],
       [0.45311731, 0.23780582, 0.03024893]])

生成单个随机数，介于[0, 1)：

>>> np.random.random()
0.8573439034930186
>>> np.random.rand()
0.6180841214951669

生成 [min, max) 间的整数：

>>> np.random.randint(5, 10)
8
>>> np.random.randint(5, 10, size=3)
array([9, 5, 6])

生成具有特定分布类型的随机数，比如生成具有正态分布的随机数：

>>> np.random.normal(size=5)
array([-1.67215088, 0.65813053, -0.70150614, 0.91452499, 0.71440557])

# 可以调整方差和期望, μ = 1.5, δ^2 = 16.0
>>> np.random.normal(1.5, 4.0)
0.83636555041094318

打乱数组中的值：

>>> a = np.arange(10)
>>> a
array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
>>> np.random.shuffle(a)
>>> a
array([7, 6, 9, 3, 2, 4, 8, 0, 1, 5])