6101 最优贸易 0x60「图论」例题
描述
C国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。
C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到C国旅游。当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。设C国 n 个城市的标号从 1~n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。
阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。因为阿龙主要是来C国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。
输入格式
第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的
数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城
市的商品价格。
接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市y 之间的双向道路。
输出格式
一个整数，表示答案。
样例输入
5 5 4 3 5 6 1 1 2 1 1 4 1 2 3 2 3 5 1 4 5 2
样例输出
5
数据范围与约定
- 输入数据保证 1 号城市可以到达n 号城市。
对于 10%的数据，1≤n≤6。
对于 30%的数据，1≤n≤100。
对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。
对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市
水晶球价格≤100。
来源
CCF NOIP2009
题意：
n个城市水晶球的价格各不相同，从$1~N$的路径中选择价格最低的城市买一个水晶球，价格最高的城市卖一个水晶球。问得到的收益最大是多少。
思路：
说是最短路其实就是一个bfs吧。
假设经过了城市$i$，那么这一段路程的最大收益就是$i~N$路径中的最大价格减$1~i$路径中的最小价格。
所以我们还需要建一个反向的图。
第一次以城市$1$为起点找到从$1$出发到各个点时最小的价格。
然后以城市$N$为起点跑反向找到各个点的最大价格，其实也就是从各个点跑到$N$的过程中的最大价格。
然后遍历每个点，找到差值最大的即为答案。
1 #include<iostream> 2 //#include<bits/stdc++.h> 3 #include<cstdio> 4 #include<cmath> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cstring> 7 #include<algorithm> 8 #include<queue> 9 #include<vector> 10 #include<set> 11 #include<climits> 12 using namespace std; 13 typedef long long LL; 14 #define N 100010 15 #define pi 3.1415926535 16 17 int n, m; 18 const int maxn = 1e5 + 5; 19 const int maxm = 5e5 + 5; 20 int price[maxn]; 21 vector<int>graph[maxn]; 22 vector<int>fangraph[maxn]; 23 int buy[maxn], sell[maxn]; 24 bool vis[maxn]; 25 26 void dijkstra() 27 { 28 /*for(int i = 1; i <= n; i++){ 29 buy[i] = price[i]; 30 }*/ 31 //memset(buy, 0x3f, sizeof(buy)); 32 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 33 buy[1] = price[1];vis[1] = true; 34 queue<int >que; 35 que.push(1); 36 while(que.size()){ 37 int x = que.front();que.pop(); 38 for(int i = 0; i < graph[x].size(); i++){ 39 int y = graph[x][i]; 40 if(!buy[y])buy[y] = price[y]; 41 buy[y] = min(buy[y], buy[x]); 42 if(!vis[y]){ 43 que.push(y); 44 vis[y] = true; 45 } 46 /*if(buy[y] > buy[x]){ 47 buy[y] = buy[x]; 48 que.push(make_pair(-buy[y], y)); 49 }*/ 50 } 51 } 52 //return buy[n]; 53 } 54 55 void fandijkstra() 56 { 57 //memset(sell, 0x3f, sizeof(sell)); 58 /*for(int i = 1; i <= n; i++){ 59 sell[i] = price[i]; 60 }*/ 61 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 62 sell[n] = price[n];vis[n] = true; 63 queue<int >que; 64 que.push(n); 65 while(que.size()){ 66 int x = que.front();que.pop(); 67 for(int i = 0; i < fangraph[x].size(); i++){ 68 int y = fangraph[x][i]; 69 if(!sell[y])sell[y] = price[y]; 70 sell[y] = max(sell[y], sell[x]); 71 if(!vis[y]){ 72 que.push(y); 73 vis[y] = true; 74 } 75 /*if(sell[y] < sell[x]){ 76 sell[y] = sell[x]; 77 que.push(make_pair(sell[y], y)); 78 }*/ 79 } 80 } 81 //return sell[1]; 82 } 83 84 int main() 85 { 86 //freopen("in.txt", "r", stdin); 87 scanf("%d%d", &n, &m); 88 for(int i = 1; i <= n; i++){ 89 scanf("%d", &price[i]); 90 } 91 for(int i = 0; i < m; i++){ 92 int u, v, t; 93 scanf("%d%d%d", &u, &v, &t); 94 graph[u].push_back(v); 95 fangraph[v].push_back(u); 96 if(t == 2){ 97 graph[v].push_back(u); 98 fangraph[u].push_back(v); 99 } 100 } 101 102 int ans = 0; 103 dijkstra(); 104 /*for(int i = 1; i <= n; i++){ 105 printf("%d ", buy[i]); 106 } 107 cout<<endl;*/ 108 fandijkstra(); 109 /*for(int i = 1; i <= n; i++){ 110 printf("%d ", sell[i]); 111 } 112 cout<<endl;*/ 113 for(int i = 1; i <= n; i++){ 114 ans = max(ans, sell[i] - buy[i]); 115 } 116 printf("%d ", ans); 117 return 0; 118 }