6201 走廊泼水节 0x60「图论」例题
描述
【简化版题意】给定一棵N个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。求增加的边的权值总和最小是多少。
我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是OIER门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密~),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗~)。但是OIER门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~
输入格式
本题为多组数据~
第一行t，表示有t组测试数据
对于每组数据
第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；
2到N行，每行三个整数X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道
输出格式
对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。
样例输入
2 3 1 2 2 1 3 3 4 1 2 3 2 3 4 3 4 5
样例输出
4 17
数据范围与约定
- 每个测试点最多10组测试数据
50% n<=1500;
100% n<=6000
100% z<=100
样例解释
第一组数据，在2和3之间修建一条长度为4的道路，是这棵树变成一个完全图，且原来的树依然是这个图的唯一最小生成树.
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题意：
题意题目第一段【简化版题意】讲得很清楚了，不重复了。
思路：
写这道题首先要清楚最小生成树kruskal算法的思想。
kruskal其实就是先将边按权值排序，使用并查集，从小到大扫描边，依次合并点的集合。
比如我们现在扫描到边$e_i$，他的终点是$x$和$y$，他们分别属于集合$S_x$集合$S_y$。
kruskal的过程就是把$S_x$和$S_y$合并，把$e_i$加入到答案中。
现在如果我们要添加边使得他变成完全图的话。那么原来集合$S_x$和集合$S_y$应该只有$e_i$这一条边可以使他们连通。
现在我们就要对每一对$uepsilon S_x$, $vepsilon S_y$添加一条边，为了使$e_i$仍在最小生成树中，添加的每条边都应该大于$e_i$的权值$z$
又要使答案最小，所以应该添加权值为$z+1$的边。添加的边的条数应该是$size(S_x) * size(S_y) - 1$
1 #include<iostream> 2 //#include<bits/stdc++.h> 3 #include<cstdio> 4 #include<cmath> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cstring> 7 #include<algorithm> 8 #include<queue> 9 #include<vector> 10 #include<set> 11 #include<climits> 12 #include<map> 13 using namespace std; 14 typedef long long LL; 15 #define N 100010 16 #define pi 3.1415926535 17 #define inf 0x3f3f3f3f 18 19 int t, n; 20 const int maxn = 6005; 21 int fa[maxn], cnt_son[maxn]; 22 struct edge{ 23 int u, v, w; 24 }e[maxn]; 25 bool cmp(edge a, edge b) 26 { 27 return a.w < b.w; 28 } 29 30 int get(int x) 31 { 32 if(x == fa[x])return x; 33 return fa[x] = get(fa[x]); 34 } 35 36 37 int main() 38 { 39 scanf("%d", &t); 40 while(t--){ 41 scanf("%d", &n); 42 for(int i = 0; i < n - 1; i++){ 43 scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w); 44 } 45 sort(e, e + n - 1, cmp); 46 for(int i = 1; i <= n; i++){ 47 fa[i] = i; 48 cnt_son[i] = 1; 49 } 50 51 int ans = 0; 52 for(int i = 0; i < n - 1; i++){ 53 int x = get(e[i].u); 54 int y = get(e[i].v); 55 if(x == y)continue; 56 ans += (e[i].w + 1) * (cnt_son[x] * cnt_son[y] - 1); 57 fa[x] = y; 58 cnt_son[x] = cnt_son[y] = cnt_son[x] + cnt_son[y]; 59 } 60 printf("%d ", ans); 61 } 62 return 0; 63 }