图论浅析--最短路之Dijkstra

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最短路径：对有权图G=(V,E)，从一个源点s到汇点t有很多路径，其中路径上权和最小的路径，称s到t的最短路径。
单源最短路径：求源点s到其它所有点的最短路径问题。

Dijkstra

计算某一顶点到其它所有顶点的最短路径。需注意权值不能为负。
通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作。
算法原理：贪心。
复杂度：O(n^2)。 可使用优先队列优化

算法思想

对已求点集合S
1、在未求点中找到一个到源点权和最小的点k，权和为lowcost[k]。
2、把点k加到集合S中，同时修改其余各点j的 lowcost[j]，是否经过k后变短，若变短则更新。

if(lowcost[k]+g[k][j]<lowcost[j]) 
    lowcost[j]=g[k][j]+lowcost[k];

3、重复至更新完所有点。

过程演示

步骤	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7	已选点集合S
1	(v1,0)**	(v1,+∞)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	S={v1}
2	(v1,0)*	(v1,3)**	(v1,7)	(v1,5)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	S={v1,v2}
3	(v1,0)*	(v1,3)*	(v2,5)**	(v1,5)	(v2,9)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	S={v1,v2,v3}
4	(v1,0)*	(v1,3)*	(v2,5)*	(v1,5)**	(v3,8)	(v1,+∞)	(v1,+∞)	S={v1,v2,v3,v4}
5	(v1,0)*	(v1,3)*	(v2,5)*	(v1,5)*	(v3,8)	(v4,7)**	(v4,13)	S={v1,v2,v3,v4,v6}
6	(v1,0)*	(v1,3)*	(v2,5)*	(v1,5)*	(v3,8)**	(v4,7)*	(v4,13)	S={v1,v2,v3,v4,v6,v5}
7	(v1,0)*	(v1,3)*	(v2,5)*	(v1,5)*	(v3,8)*	(v4,7)*	(v6,9)**	S={v1,v2,v3,v4,v6,v5,v7}

Code

int n; //图的点数
int g[NUM][NUM]; //图的邻接矩阵
int lowcost[NUM]; //到各点的最短距离
bool vis[NUM]; //访问标记
int pre[NUM]; //最短路的前驱节点
void Dijkstra(int beg)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        lowcost[i]=INF;
        vis[i]=false;
        pre[i]=-1;
    }
    lowcost[beg]=0;
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
        int k=-1;
        int Min=INF;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(!vis[i] && lowcost[i]<Min)
            {
                Min=lowcost[i];
                k=i;
            }
        }
        if(k==-1)break;
        vis[k]=true;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(!vis[i] && lowcost[k]+g[k][i]<lowcost[i])
            {
                lowcost[i]=lowcost[k]+g[k][i];
                pre[i]=k;
            }
        }
    }
}

附：wikipedia的Dijkstra算法演示

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