Merge k sorted linked lists and return it as one sorted list. Analyze and describe its complexit

题目：

Merge k sorted linked lists and return it as one sorted list. Analyze and describe its complexity.

这道题目在分布式系统中非常常见，来自不同client的sorted list要在central server上面merge起来。这个题目一般有两种做法，下面一一介绍并且分析复杂度。 第一种做法比较容易想到，就是有点类似于MergeSort的思路,就是分治法，不了解MergeSort的朋友，请参见 归并排序-维基百科，是一个比较经典的O(nlogn)的排序算法，还是比较重要的。思路是先分成两个子任务，然后递归求子任务，最后回溯回来。这个题目也是这样，先把k个list分成两半，然后继续划分，知道剩下两个list就合并起来，
合并时会用到 Merge Two Sorted Lists 这道题，不熟悉的朋友可以复习一下。代码如下： 

public class Solution {

    public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {
        if(lists.length == 0) {
            return null;
        }

        return merge(0, lists.length-1, lists);
    }

    public ListNode merge(int i, int j, ListNode[] lists) {
        if(j < i) {
            return null;
        }

        if(i == j) {
            return lists[i];
        }

        int mid = (j-i)>>1 + i;
        ListNode l = merge(i, mid, lists);
        ListNode r = merge(mid+1, j, lists);

        ListNode dummy = new ListNode(0);
        ListNode runner = dummy;

        while(l != null && r != null) {
            if(l.val > r.val) {
                runner.next = r;
                r = r.next;
                runner = runner.next;
            } else {
                runner.next = l;
                l = l.next;
                runner = runner.next;
            }
        }

        if(l == null && r == null) {
            return dummy.next;
        }

        if(l == null) {
            runner.next = r;
        } else {
            runner.next = l;
        }

        return dummy.next;
    }
}

我们来分析一下上述算法的时间复杂度。假设总共有k个list，每个list的最大长度是n，那么运行时间满足递推式T(k) = 2T(k/2)+O(n*k)。根据主定理，可以算出算法的总复杂度是O(nklogk)。如果不了解主定理的朋友，可以参见 主定理-维基百科 。空间复杂度的话是递归栈的大小O(logk)。 

第二种方法：

这种方法用到了堆的数据结构，思路比较难想到，但是其实原理比较简单。维护一个大小为k的堆，每次去堆顶的最小元素放到结果中，然后读取该元素的下一个元素放入堆中，重新维护好。因为每个链表是有序的，每次又是去当前k个元素中最小的，所以当所有链表都读完时结束，这个时候所有元素按从小到大放在结果链表中。这个算法每个元素要读取一次，即是k*n次，然后每次读取元素要把新元素插入堆中要logk的复杂度，所以总时间复杂度是O(nklogk)。空间复杂度是堆的大小，即为O(k)

public class Solution {

    public ListNode mergeKLists(ArrayList<ListNode> lists) {
        PriorityQueue<ListNode> heap = new PriorityQueue<ListNode>(10, new Comparator<ListNode>(){
            public int compare(ListNode n1, ListNode n2) {
                return n1.val - n2.val;
            }
        });

        for(int i = 0; i < lists.size(); i++) {
            ListNode node = lists.get(i);
            if(node != null) {
                heap.offer(node);
            }
        }

        ListNode head = null;
        ListNode pre = head;

        while(head.size() > 0) {
            ListNode current = head.poll();
            if(head == null) {
                head = null;
                pre = head;
            } else {
                pre.next = current;
            }

            pre = current;
            if(current.next != null) {
                heap.offer(current.next);
            }
        }

        return head;
    }
}