最长公共子序列和最长公共子串

1、最长公共子序列和最长公共子串的区别？

最长公共子序列：不要求子序列连续。

最长公共子串：要求子串一定连续。

2、最长公共子序列

最长公共子序列定义：两个或多个已知数列的子序列集合中最长的就是最长公共子序列。

比如数列A = “abcdef”和B = “adefcb”，那么两个数列的公共子序列集合有{”a","ab","abc","adef",等等}，其中最长的就是adef，这就是最长公共子序列。

最长公共子序列LCS动态规划状态转移方程式

最长公共子序列动态规划解法

dp[i][j] -- 表示子串A[0...i]（数组长度为n）和子串B[0...j]（数组长度为m）的最长公共子序列

当A[i] == B[j]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

最优解为dp[n-1][m-1];

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。

public class Solution {

    public static void main(String[] args) {
        String str1 = "12asdfa";
        String str2 = "we2rasdaswer";

        int result = longestCommonSubsequence(str1, str2);
        System.out.println(result);

    }

    // LCS
    public static int longestCommonSubsequence(String str1, String str2) {
        int[][] matrix = new int[str1.length()+1][str2.length()+1];

        for(int i = 0; i < str1.length(); i++) {
            matrix[i][0] = 0;
        }

        for(int j = 0; j <= str2.length(); j++) {
            matrix[0][j] = 0;
        }

        for(int i = 1; i <= str1.length(); i++) {
            for(int j = 1; j <= str2.length(); j++) {
                if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                    matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1;
                } else {
                    matrix[i][j] = (matrix[i-1][j] >= matrix[i][j-1]?matrix[i-1][j]:matrix[i][j-1]);
                }
            }
        }

        return matrix[str1.length()][str2.length()];
    }
}

 如何要得到重复的子序列是哪个？

 3、最长公共子串

 最长公共子串的动态规划的状态转移方程式

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {

        String str1 = "abcdef";
        String str2 = "cde";

        int result = longestCommonSubstring(str1, str2);
        System.out.println(result);
    }

    public static int longestCommonSubstring(String str1, String str2) {
        int len1 = str1.length();
        int len2 = str2.length();
        int result = 0;

        int[]][] c = new int[len1+1][len2+1];

        for(int i = 0; i <= len1; i++) {
            for(int j = 0; j <= len2; j++) {

                if(i == 0 || j == 0) {
                    c[i][j] = 0;
                } else if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j)) {
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                    result = Math.max(result, c[i][j]);
                } else {
                    c[i][j] = 0;
                }
            }
        }

        return result;
    }
}