[CSP-S模拟测试]:大佬(kat)（数学期望）

题目描述

辣鸡$ljh NOI$之后就退役了，然后就滚去学文化课了。
他发现$katarina$大佬真是太强了，于是就学习了一下$katarina$大佬的做题方法。
比如这是一本有$n$道题的练习册，$katarina$大佬每天都会做k道题。
第一天做第$1~k$题，第二天做第$2~k+1$题……第$n-k+1$天做第$n-k+1~n$道题。
但是辣鸡$ljh$又不想太累，所以他想知道$katarina$大佬做完这本练习册的劳累度。
每道题有它的难度值，假设今天$katarina$大佬做的题目中最大难度为$t$，那么今天$katarina$大佬的劳累度就是$w_{t_i}$，做完这本书的劳累值就是每天的劳累值之和。
但是辣鸡$ljh$一道题都不会，自然也不知道题目有多难，他只知道题目的难度一定在$1~m$之间随机。
他想让即将参加$NOIP$的你帮他算算$katarina$大佬做完这本书的劳累值期望。

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输入格式

第一行，三个整数$n,m,k$。
第二行，$m$个整数表示$w_{t_1},,,,w_{t_m}$。

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输出格式

输出劳累值期望对1000000007取模的值。

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样例

样例输入1：

2 2 2
1 2

样例输出1：

750000007

样例输入2：

5 4 3
2 1 3 5

样例输出2：

890625018

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数据范围与提示

样例1解释：

有${1,1},{1,2},{2,1},{2,2}$四种可能，期望为$frac{7}{4}$。

数据范围：

$nleqslant 500$。

$mleqslant 400$。

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题解

又是一道假期望……

注意这句话：第一天做第$1~k$题，第二天做第$2~k+1$题……第$n-k+1$天做第$n-k+1~n$道题。

而不是：第一天做第$1~k$题，第二天做第$k+1~2 imes k$题……第$frac{n}{k}$天做第$n-k+1~n$道题。

一看就是道概率$DP$，那么考虑怎么定义$DP$式子。

定义$dp[i][j]$表示已经做了$i$道题且最大难度小于等于$j$的劳累值期望。

考虑如何进行状态转移，分两种情况：

　　$alpha.$当最大值小于$j$时，显然可以直接转移，即：$dp[i][j]=dp[i][j-1]$。

　　$eta.$当最大值等于$j$时，枚举最大值第一次出现的位置：

　　　　$dp[i][j]+=sum limits_{l=1}^{i}dp[l-1][j] imes m^{i-l}+j imes k imes m^{i-1}+dp[i-1][j] imes m^{l-1}$

注意边界情况即可。

还需要注意的一点是，如果k<n则无解，特判一下就好啦～

时间复杂度：$Theta(n^2m)$。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,k;
long long ans;
long long w,t,l;
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=(res*x)%1000000007;
		x=(x*x)%1000000007;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld",&w);
		t=qpow(i,k);
		ans=(ans+(t-l+1000000007)*w%1000000007)%1000000007;
		l=t;
	}
	long long inv=qpow(qpow(m,k),1000000005);
	cout<<max((n-k+1),0)*ans%1000000007*inv%1000000007<<endl;
	return 0;
}

---

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