引入
还是先从例题引入，给你一个二维平面，要求在$Theta(1)$的时间复杂度内求出一个矩形内数的和。
显然，对于极端情况，二维平面退化成一维，那么我么可以用前缀和数组轻松解决，放在二维平面有该怎么办呢？
我们就要进入一个新的名词：二维前缀和。
何谓二位前缀和
我们可以感性的将其理解为建立在二维平面上的前缀和，如下图：
红色区域所有数的和即为二维前缀和中点$(i,j)$的值。
如何预处理
类比一维前缀和，我们可以在$Theta(n)$的时间复杂度下预处理，如下代码：
a[i]+=a[i-1];
那么对于二维前缀和，我们怎么预处理呢？
先给出算式：
Map[i][j]+=Map[i-1][j]+Map[i][j-1]-Map[i-1][j-1];
类比一维前缀和，因为我们从左到右在计算$a[i]$的时候已经知道了$a[i-1]$的值，所以同理，我们从左上向右下在计算$Map[i][j]$的时候已经知道了它右上所有点的前缀和，也就是知道了$Map[i-1][j]$、$Map[i][j-1]$和$Map[i-1][j-1]$的值，那么现在考虑为什么要做如上的运算。
其中，$Map[i][j]$的初始值即为点$(i,j)$的权值，如图：
那么现在，我们要求前缀和，也就是要加上下图中橙色区域：
而我们加上的$Map[i-1][j]$即为下图蓝色区域：
加上的$Map[i][j-1]$即为下图绿色区域：
然后我们会发现，有一部分重叠了，如下图紫色区域：
而这部分就是我们要减去的$Map[i-1][j-1]$。
那么我们的预处理就完成了。
时间复杂度：$Theta(n imes m)$，与一维中的$Theta(n)$预处理同理。
如何查询
依然是类比一维前缀和，对于查询区间$(l,r)$的值，我们可以用如下代码进行$Theta(1)$的查询：
sum=a[r]-a[l-1];
也就是说，用右端点的前缀和值减去左端点$-1$的前缀和值即得到了区间$(l,r)$的和，如下图：
那么对于二维前缀和，我们有应该怎么办呢？
对于计算矩形$(x1,y1)sim (x2,y2)$的和，先给出如下算式：
sum=Map[x2][y2]-Map[x1-1][y2]-Map[x2][y1-1]+Map[x1-1][y1-1];
下面来理解算式：
现在我们要求下图中红色区域的权值和：
而我们已经预处理好了前缀和，但是我们还不直接知道矩形$(x1,y1)sim (x2,y2)$的权值和，那么我们考虑怎么减去那部分。
我们已经知道了$Map[x2][y2]$，而我们需要减去下图中橙色区域：
那么我们先减去$Map[x1-1][y2]$，也就是下图中蓝色区域：
然后再减去$Map[x2][y1-1]$，也就是下图中绿色区域：
然后，我们发现我们多减去了一部分，要把它加回来，而这部分就是$Map[x1-1][y1-1]$，如下图紫色部分：
这样，我们就成功的得到了需要求和的部分的值。
时间复杂度：$Theta(1)$，与一维前缀和的$Theta(1)$同理。
例题
那么现在对于二维前缀和的讲解就结束了，下面推荐几道我觉得不错的考察二维前缀和的题，大概$NOIP$难度：
$alpha.$任(duty)。
还在完善……
rp++