【洛谷P2568】GCD

题目大意：给定整数 (N)，求(1le x,yle N) 且 (gcd(x,y)) 为素数的数对 ((x,y)) 有多少对。

题解：

[sum_{p in ext { prime }} sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n}[operatorname{gcd}(i, j)=p] ]

[sum_{p in ext { prime }} sum_{i=1}^{leftlfloorfrac{n}{p} ight floor} sum_{j=1}^{leftlfloorfrac{n}{p} ight floor}[operatorname{gcd}(i, j)=1] ]

[sum_{p in ext { prime }}left(sum_{i=1}^{leftlfloorfrac{n}{p} ight floor}left(2 sum_{j=1}^{i}[operatorname{gcd}(i, j)=1] ight)-1 ight) ]

[sum_{p in ext { prime }}left(2 sum_{i=1}^{leftlfloorfrac{n}{p} ight floor} varphi(i)-1 ight) ]

因此，利用线性筛求出欧拉函数的前缀和，直接枚举素数计算答案贡献即可。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e7+10;

int n,prime[maxn],tot;
ll phi[maxn],sum[maxn];
bool vis[maxn];

void sieve(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    sieve();
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)ans+=(2*sum[n/prime[i]]-1);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}