【洛谷P2257】YY的GCD

题目大意：有 (T) 个询问，每个询问给定 (N, M),求 (1le xle N, 1le yle M) 且 (gcd(x, y)) 为质数的 ((x, y)) 有多少对。

题解：直接像 GCD 那道题一样预处理欧拉函数的前缀和并用素数计算答案贡献会TLE。
考虑采用狄利克雷卷积进行优化。

[sum_{k=1}^{n} sum_{d=1}^{leftlfloorfrac{n}{K} ight floor} mu(d) *leftlfloorfrac{n}{k d} ight floor *leftlfloorfrac{m}{k d} ight floor quad(k in ext { prime }) ]

[sum_{k=1}^{n} sum_{d=1}^{leftlfloorfrac{n}{pi} ight floor} mu(d) *leftlfloorfrac{n}{T} ight floor *leftlfloorfrac{m}{T} ight floor(k in ext { prime }) ]

[sum_{T=1}^{n}leftlfloorfrac{n}{T} ight floor *leftlfloorfrac{m}{T} ight floor sum_{k T, k in p i m r e} muleft(frac{T}{k} ight) ]

可以 (O(n)) 预处理，(O(sqrt n)) 回答每次询问，总时间复杂度为 (O(nsqrt n))。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=1e7+10;

int n,m;
int mu[maxn],prime[maxn],tot,f[maxn],sum[maxn];
bool vis[maxn];

void seive(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=1e7;i++){
		if(!vis[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;i*prime[j]<=1e7;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		for(int j=1;j*prime[i]<=1e7;j++)
			f[prime[i]*j]+=mu[j];
	for(int i=1;i<=1e7;i++)sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}

void solve(){
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(ll)(sum[j]-sum[i-1])*(ll)(n/i)*(ll)(m/i);
		i=j;
	}
	printf("%lld
",ans);
}

int main(){
	seive();
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(n>m)swap(n,m);
		solve();
	}
	return 0;
}