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  • 【洛谷P1490】买蛋糕

    题目大意:给定一个正整数 N,求至少从 [1,N] 中选出多少个数能够表示出 [1,N] 中的所有整数,每个数只能被选 1 次,并求出对于最优解有多少种不同的选择方案。

    题解:好题。
    仅考虑用最少的不同数字组合出 [1,N] 中所有的数,答案应该是 N 的二进制分解后的总位数,即:选出用 2 的幂次的数去组合是最好的方式。
    若从 dp 的角度进行考虑,可以发现,对于从 [1,N] 中的数对答案来说都有选或不选两种情况,因此可以看成是背包问题的变种。
    (dp[i][j]) 表示前 i 个数字中选出若干数,能够组合出 [1,j] 中所有数字的选出数字的最小个数。转移时的决策有两种,即:选 i 与不选 i,状态转移方程为

    [dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i-1][k]+1,k=max(i-1,j-i)} ]

    注意,这里对于 k 的取值不能仅仅是 j-i,若 (j-i<i-1),则添加 (i) 后能够组合出的区间为 ([0,j-i]+[i,j]),发现中间部分断开了,不符合状态的要求,因此 (j-i) 取值的最小值是 (i-1),即:([0,i-1]+[i,j])

    代码如下

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int maxn=1010;
    
    int n,f[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
    
    void solve(){
    	memset(f,0x3f,sizeof(f));
    	g[0][0]=1,f[0][0]=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		for(int j=0;j<=n;j++){
    			int k=max(i-1,j-i);
    			f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][k]+1);
    			if(f[i][j]==f[i-1][j])g[i][j]+=g[i-1][j];
    			if(f[i][j]==f[i-1][k]+1)g[i][j]+=g[i-1][k];
    		}
    	}
    	printf("%d %d
    ",f[n][n],g[n][n]);
    }
    
    int main(){
    	scanf("%d",&n);
    	solve();
    	return 0;
    } 
    
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