526. Beautiful Arrangement

Suppose you have N integers from 1 to N. We define a beautiful arrangement as an array that is constructed by these N numbers successfully if one of the following is true for the ith position (1 <= i <= N) in this array:

1. The number at the ith position is divisible by i.
2. i is divisible by the number at the ith position.

Now given N, how many beautiful arrangements can you construct?

Example 1:

Input: 2
Output: 2
Explanation: 

The first beautiful arrangement is [1, 2]:

Number at the 1st position (i=1) is 1, and 1 is divisible by i (i=1).

Number at the 2nd position (i=2) is 2, and 2 is divisible by i (i=2).

The second beautiful arrangement is [2, 1]:

Number at the 1st position (i=1) is 2, and 2 is divisible by i (i=1).

Number at the 2nd position (i=2) is 1, and i (i=2) is divisible by 1.

题目含义：假设你有1到N的N个整数，我们定义如果这N个整数可以组成数组后，每 i 位（1 ≤ i ≤ N）都满足下面两个要求之一就称其为漂亮的安排：

1. 第 i 个位置的数字可以被 i 整除。
2. i 可以被第 i 个位置的数字整除。

现在给出N，你可以组成多少种漂亮的安排？

思路：对于解决穷举问题，可以考虑使用回溯算法。回溯是递归的一种形式，可以用来解决是否有解、求所有解和求最优解的问题。简单来说，假设有一棵树，需要找到所有从树的根节点到叶节点的遍历方式，回溯算法会从根开始，然后选择一个根的节点，再从根的节点的节点进行选择，重复地进行直到找到一个叶节点，找到叶节点后会返回上一次遍历的节点寻找其他未遍历的其他节点，这样省去了重复的遍历过程，保证每次遍历都是新的。

根据回溯的思路，同样，可以对本题的Beautiful排列实现。比如，当N为5时，使用回溯算法先是得到（1,2,3,4,5）排列，符合要求，符合要求的排列数count+1，接着回溯到第四个位置，在剩下的选择中选5，但发现5不符合要求，然后跳过，不再往后判断。同样当得到（1,2,5）这前三个排列时，5已经不符合要求，也不会再往后判断（1,2,5,x,x）。这样减少了直接穷举递归方法中很多不需要判断操作，提高了效率。

具体来说，计算Beautiful排列的数量，可把长度为N的排列的位置看成结点，建立一个辅助类来记录所遍历结点的位置及在该位置符合要求的值，当结点的位置超过N长度则认为完成了一次Beautiful排列。

    int count = 0;

    public int countArrangement(int N) {
        if (N == 0) return 0;
        builtfulNumber(N, 1, new int[N + 1]);
        return count;
    }

    /***
     *
     * @param N 可以使用的最大整数
     * @param pos  pos作为将被放置的数
     * @param used 放置了数据的位置值为1
     */
    private void builtfulNumber(int N, int pos, int[] used) {
        if (pos > N) {
            count++;
            return;
        }

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            if (used[i] == 0 && (i % pos == 0 || pos % i == 0)) {
                //位置i上没有放置数据， 位置i可以被pos整除或者pos可以被位置i整除
                used[i] = 1; //位置i上放置了数据，
                builtfulNumber(N, pos + 1, used); //在下一个位置放置数据
                used[i] = 0; //位置i上撤销数据，准备i的下一个位置来循环
            }
        }
    }