Dijkstra算法

Dijkstra算法是一个经典的算法——他是荷兰计算机科学家Dijkstra于1959年提出的单源图最短路径算法。也是一个经典的贪心算法。所谓单源图 是规定一个起点的图，我们的最短路径都是从这个起点出发计算的。算法的适用范围是一个无向（或者有向图），全部边权都是非负数。

算法描写叙述：

节点集合V = {}空集合，距离初始化。

节点编号0..n – 1, 起点编号0≤ s < n。

距离数组

起点 d[s] = 0
其它 d[i] = ∞, 0 ≤ i < n,  i ≠ s。

循环n次

找到节点i 不属于 V，且d[i]值最小的节点i。

V = V + i

对全部满足j  V的边(i, j) 更新d[j] = min(d[j] , d[i] + w(i,  j))。

下面图为例。描写叙述Dijkstra算法的执行过程：

初始，求A点到其它点的最短路径（也称单源最短路径）。

初始化A点

A点有3条边。AB（17）。AE（16）。AF（1）。

将3条边增加优先队列，此时队列中的元素为（仅仅记录目标点）：

{1 F} | {16 E} | {17 B}

取出队列中最小的元素，{1 F}，F点是一个未处理过的点，因此得到了A点到F点的最短距离。

更新距离。变为：

处理F点。F点有4条边。FA（1），FB（11），FD（14）。FE（33）。

当中FA已经处理过，所以忽略掉。

将3条边增加优先队列。注意，此时增加队列时，全部边的权值须要加上F点到A点的最短距离1。

此时队列中的元素为：

{12 B} | {15 D}  | {16 E} | {17 B} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{12 B}。B点是一个未处理过的点。因此得到了A点到B点的最短距离。

更新距离。变为：

处理B点，B点有4条边。AB（17）。BF（11），BC（6），BD（5）。当中AB。BF已经处理过，所以忽略掉。

将2条的权值加上A到B的最短路径12，增加优先队列。此时队列中的元素为：


{15 D}  | {16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {34 E}


取出队列中最小的元素，{15 D}，D点是一个未处理过的点，因此得到了A点到D点的最短距离。更新距离，变为：

处理D点。D点有4条边。

当中DC（10），DE（4）没有处理过。

将2条的权值加上A到D的最短路径15，增加优先队列。此时队列中的元素为：

{16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{16 E}。E点是一个未处理过的点，因此得到了A点到E点的最短距离。

更新距离。变为：

处理E点，E点所连接的边都已经被处理过了。

此时优先队列中的元素为：

{17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素。{17 B}。B点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

 {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{17 D}，D点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

 {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{18 C}。C点是一个未处理过的点，因此得到了A点到C点的最短距离。

更新距离，变为：

Dijkstra算法的证明：

i  V,  d[i] = min{d[x] + w(x, i), x  V}

我们证明节点i要进入集合V时，d[i]确实是s到i的最短路长度 。

归纳证明： 起初 d[s] = 0满足条件。

如果之前集合V中的点所有满足如果，如今要增加节点i   V。如果随意从s到i的路径P＝ s…x y…i。

当中s..x所有在V中, y  V。依据归纳如果d[x]是s到x的最短路长度。

依据d的定义，我们有d[x] + w(x,y) ≥ d[y]。
并且由于dijkstra选择最小的d增加，所以有d[y] ≥ d[i] 。

于是有路径P的长度。 length(P) ≥  d[x] + w(x, y) + length(y..i) ≥ d[y] ＋ length(y..i)  ≥  d[y] ≥ d[i]。
从而d[i]也是最短路的长度。得证。