面试题10- I：斐波那契数列（C++）

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/

题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1,F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回1.

题目示例

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

解题思路

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

思路1：使用递归思想，将f(n)问题拆分成f(n-1)和f(n-2)问题，其中递归结束条件为f(0)和f(1)。当然，直接使用递归方法会产生超时，所以我们用记忆化递归方法，即在递归法基础之上，新建一个长度为n的数组，用于在递归时存储f(0)至f(n)的数，重复遇到一个数时，则直接从数组arr中取用，避免了重复的递归计算，不过需要额外的空间。空间复杂度O(N)

思路2：动态规划，声明大小为n++1+1的数组arr，并初始化为0，需要注意的是n+1+1中第一个+1是存储0至n，即总共n+1个数据，第二个+1是考虑n等于0的情况，保证数组arr不会产生越界的问题。

思路3：常规思路，变量pre记录前一个值，res记录当前结果的值，循环遍历求和，如果求和结果大于边界值1000000007，则取模。空间复杂度O(1)

程序源码

记忆递归

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        int arr[200];
        arr[0] = 0, arr[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            arr[i] = (arr[i - 1] + arr[i - 2]) % 1000000007;
        }
        return arr[n];
    }
};

动态规划

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n < 2) return n;
        int pre2 = 0, pre1 = 1;
        int fab = 0;
        for(int i = 2; i <= n; ++i)
        {
            fab = pre2 + pre1 >= 1000000007 ? (pre2 + pre1) % 1000000007:pre2 + pre1;
            pre2 = pre1;
            pre1 = fab;
            
        }
        return fab;
    }
};

常规思路

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        vector<int> arr(n + 1 + 1, 0);
        arr[1] = 1; //存放结果
        for(int i = 2; i < n + 1; i++)
        {
            arr[i] = (arr[i - 1] + arr[ i - 2]) % 1000000007;
        }
        return arr[n];
    }
};