题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/
题目描述
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
题目示例
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
解题思路
动态规划：我们使用dp[i]表示长度为i的绳子能得到的最大乘积，而dp[i]是绳子在区间(0,i)之间剪开的两部分乘积最大值。如果剪开位置在k处，则区间分为(0,k)和(k,i)，第一段长度为k，第二段长度为i-k，而第二段存在剪与不剪的情况，若剪，则值为dp[i-k]，否则取i-k。综上，状态转移方程为dp[i]=max(k * dp[i-k], k * (i-k))，其中2<=k<=i。
背包型动态规划：我们将这个问题转化为求每段绳子的长度的最大乘积，其中，dp[i]表示绳长为i的最大乘积，动态转移方程dp[i]=max(dp[i-L)*i)，L为剪的长度的字段。
程序源码
动态规划
class Solution { public: int cuttingRope(int n) { if(n == 0) return 0; vector<int> dp(n + 1, 0); dp[1] = 1; dp[2] = 1; for(int i = 3; i <= n; i++) { for(int k = 2; k <= i - 1; k++) { dp[i] = max(dp[i], max(dp[i - k]*k, k*(i-k))); //k*(i-k)表示剪成两段，而k*dp[i-k]表示将i-k段继续剪 } } return dp[n]; } };
背包型动态规划
class Solution { public: int cuttingRope(int n) { if(n == 0) return 0; vector<int> dp(n + 1, 0); dp[0] = 1; for(int i = 1; i <= (n + 1)/2; i++) { for(int j = i; j <= n; j++) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - i] * i); } } return dp[n]; } };
一般动态规划
class Solution { public: int cuttingRope(int n) { //动态规划 if(n < 2) return 0; if(n == 2) return 1; if(n == 3) return 2; vector<int> dp(n + 1, 0); dp[1] = 1; //n = 2 dp[2] = 2; //n = 3 dp[3] = 3; //n = 4 int maxLen = 0; for(int i = 4; i <= n; i++) { maxLen = 0; for(int j = 1; j <= i / 2; j++) { int tmp = dp[j] * dp[i - j]; if(tmp > maxLen) { maxLen = tmp; } } dp[i] = maxLen; } return dp[n]; } };
参考文章