[Noip2006]能量项链

题目

Description

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为 （Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=10*2*3=60。这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

Input

第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。
第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。
第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i至于珠子的顺序，
即：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。 

Output

只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。 

Sample Input

4
2  3  5  10

Sample Output

710

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思路

这一题和 最小代价树 那题很相似；

建议看看 最小代价树 ；

那么这一题有什么不一样的呢？

首先这一题是个环所以我们需要把它改成链表形式；

我们设$ dp[i][j]$ 表示 $i-j$合并最大能量；

那么

dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]* a[k+1]* a[j+1], dp[i][j]);

为什么是 + a[i]* a[k+1]* a[j+1]  呢？

每次是怎么样求合并的能量，我们通过演示来确定；

如下

(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)

输入是 $a[1]=2, a[2]=3,a[3]=5$...................

将 1 ，2 两颗珠子合并； 能量是 2*3*5；

将 1， 3 两颗珠子合并； 能量是 2*3*5+2*5*10 （dp[1][3]=dp[1][2]和 dp[3][3] 转移过来）；

我们发现 合1，3 两颗珠子的时候 ，i=1 , j=3, k=2;

2*5*10 = a[1]*a[3]*a[4]=a[i]* a[k+1]* a[j+1];

将 1， 3 两颗珠子合并； 能量是 3*5*10+2*3*10 （dp[1][3]=dp[1][1]和 dp[2][3] 转移过来）；

i=1 ,j=3, k=1;

2*3*10 = a[1]*a[2]*a[4]=a[i]* a[k+1] *a[j+1];

所以dp 转移方程就是

dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]* a[k+1]* a[j+1], dp[i][j]);

那么其他方面都和和 最小代价树 那题很差不多；

代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}//快读很容易默的
ll n;
ll dp[2001][2001],a[2001],s[2001];
int main()
{
    n=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read(),
        a[n+i]=a[i];//破环成列
    for(ll len=2;len<=2*n-1;len++)//枚举长度
    for(ll i=1;i<=2*n-len+1;i++)//枚举开始点
    {
        ll j=i+len-1;//求出结束点
        for(ll k=i;k<j;k++)
        {//“思路”中dp 转移方程
            dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1],dp[i][j]);
//            cout<<i<<" "<<j<<" "<<dp[i][k]<<" "<<dp[k+1][j]<<" "<<dp[i][j]<<endl;
            //艰难的修改代码痕迹
        }
    }
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    printf("%lld
",ans);//求一遍，每个开始点的环放出能量的max
}