树链剖分入门（浅谈树链剖分）

树链剖分

简介

树链剖分用于将树分割成若干条链的形式，以维护树上路径的信息。

具体来说，将整棵树剖分为若干条链，使它组合成线性结构，然后用其他的数据结构维护信息；

重边与轻边，重链与轻链

在将一棵树分成若干条链时，我们最好不要盲目的分；

有一种有效的分割方法就是，分成重链与轻链；

重链：连续的重边组成一条链；

轻链：连续的轻边组成一条链；

那么怎么判断重边和轻边呢？

我们定义

重子节点 ：表示其子节点中子树最大的子结点。如果有多个子树最大的子结点，取其一。如果没有子节点，就无重子节点；

轻子节点 ：表示剩余的所有子结点；

那么重边和轻边就是

重边：重子节点与它父节点相连的一条边；

轻边：轻子节点与它父节点相连的一条边；

如图

代码实现

首先我们给出一些；

重要的数组

$f[x]$        表示 $x$ 节点的父节点；

$son[x]$   表示 $x$ 节点的重子节点；

$dep[x]$   表示 $x$ 节点的深度；

$size[x]$   表示 $x$ 节点的子树的节点个数；

$top[x]$    表示 $x$ 节点所在这条链上的顶部节点；

$id[x]$      表示 $x$ 节点的$DFN$序，也就是在线段树中的编号；

$aa[x]$     表示 $x$ $DFN$序的节点权值；

那么

剖分代码

inline void dfs(ll x,ll fa)//找重子节点 
{
    size[x]=1;
    f[x]=fa;//记录父节点 
    for(re ll i=head[x];i;i=e[i].stb)
    {
        ll xx=e[i].to;
        if(xx==fa)//不能遍历到父节点 
            continue;
        dep[xx]=dep[x]+1;//统计深度 
        dfs(xx,x);
        size[x]+=size[xx];//统计子树节点数 
        if(!son[x]||size[xx]>size[son[x]])
            son[x]=xx;//找重子节点，也就是子树节点数最多的子节点 
    }
}
ll tot=0;//统计在线段树中的编号 
inline void DFS(ll x,ll t)//t 表示这条链的顶部 
{
    top[x]=t;//记录 
    id[x]=++tot;//记录在线段树中的编号 
    aa[tot]=w[x];//记录在线段树中的权值 
    if(!son[x])//如果没有重子节点 
        return;//返回 
    DFS(son[x],t);//先遍历重子节点 
    for(re ll i=head[x];i;i=e[i].stb)
    {
        ll xx=e[i].to;
        if(xx==f[x]||xx==son[x])//遍历轻子节点 
            continue;
        DFS(xx,xx);//每个开始的轻子节点的链顶就是自己 
    }
}

调用代码

    dfs(1,0);
    DFS(1,1);//1 所在链的顶部就是自己

 求LCA

inline ll LCA(ll x,ll xx)
{
    while(top[x]!=top[xx])
    {
        if(dep[top[x]]>dep[top[xx]])
            x=f[top[x]];
        else
            xx=f[top[xx]];
    }
    if(dep[x]<dep[xx])
        return x;
    else
        return xx;
}

线段树维护信息

更新中。。。