[USACO08JAN]跑步Running

题目

Description

奶牛们打算通过锻炼来培养自己的运动细胞，作为其中的一员，贝茜选择的运动方式是每天进行 n 分钟的晨跑。在每分钟的开始，贝茜会选择下一分钟是用来跑步还是休息。

贝茜的体力限制了她跑步的距离。更具体地，如果贝茜选择在第 i 分钟内跑步，她可以在这一分钟内跑 di​ 米，并且她的疲劳度会增加 1。不过，无论何时贝茜的疲劳度都不能超过 m。

如果贝茜选择休息，那么她的疲劳度就会每分钟减少 1，但她必须休息到疲劳度恢复到 0 为止。在疲劳度为 0 时休息的话，疲劳度不会再变动。晨跑开始时，贝茜的疲劳度为 0 。

还有，在 n 分钟的锻炼结束时，贝茜的疲劳度也必须恢复到 0，否则她将没有足够的精力来对付这一整天中剩下的事情。

请你计算一下，贝茜最多能跑多少米。

Input

第一行两个正整数 n,m。
接下来 n 行，每行一个正整数 di​。

Output

输出一个整数，表示在满足所有限制条件的情况下，贝茜能跑的最大距离。

Sample Input

5 2
5
3
4
2
10

Sample Output

9

Hint

【数据范围】
对于 100% 的数据，1≤n≤10^4，1≤di​≤1000，1≤m≤500。

【样例说明】

贝茜在第 1 分钟内选择跑步（跑了 5 米），在第 2 分钟内休息，在第 3 分钟内跑步（跑了 4 米），剩余的时间都用来休息。
因为在晨跑结束时贝茜的疲劳度必须为0，所以她不能在第 5 分钟内选择跑步。
最终跑的总距离为 9。

---

思路

很明显的一道$dp$ 题；

我们可以设$dp[i][j]$ 表示第 $i$ 分钟内，疲劳值为 $j$ ，跑的最大距离；

那么就有三个转移方程：

$1$,不休息 ，第$i$ 分钟跑 $d[i]$ 距离；

$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+d[i]) $;

$2$,第 $i$分钟在休息，疲劳值为$0$ ,第$i-1$ 分钟疲劳值可能为 $0$;(题目允许疲劳值为 $0$ 的时候也休息）

$dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[i-1][0])$;

$3$,第 $i$分钟在休息，疲劳值为$0$ ,说明第$i$ 分之前一直休息到疲劳值为 $0$;(题目要求休息必须休息到，疲劳值为 $0$ )

$dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[i-j][j])$;

这样就 $ok$ 了；

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}
    return a*f;
}
ll n,m;
ll d[10001];
ll dp[10001][501];
int main()
{
    n=read(); m=read();
    for(re ll i=1;i<=n;i++)
        d[i]=read();//读入 
    for(re ll i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[i-1][0]);
        //第 i分钟在休息，疲劳值 0 ,第 i-1 分钟疲劳值可能为 0; 
        for(re ll j=0;j<=min(i,m);j++)
        {
            if(j)//不休息 ，第 i 分钟跑 d[i] 距离
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+d[i]);
            if(i-j)//第 i 分之前一直休息到疲劳值为 0;
                dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[i-j][j]);
        }
    }
    ll ans=0;
    for(re ll i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,dp[i][0]);//统计答案 
    printf("%lld
",ans);//输出
    //return 0; 
}