欧拉函数

尝试凭记忆写一下……
如无特殊说明，本文 (p) 均为质数。

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传统艺能之基本计算式：

[varphi(n)=nprod_{pmid n}(1-frac{1}{p}) ]

并且是一个喜闻乐见的积性函数。
根据定义可知 (varphi(p)=p-1)。
于是有如下推论：
1.(forall n>1)，(1sim n) 中与 (n) 互质的数之和为 (dfrac{nvarphi(n)}{2})。
很好证欸……因为 (gcd(n,x)=gcd(n,n-x))，所以 (1sim n) 中不互质的数总是成对出现，而这些的总和即为 (dfrac{n(n-varphi(n))}{2})，用总和一减立得。

2.如果 (pmid n,p^2mid n)，则 (varphi(n)=pvarphi(n/p))。
(n/p) 与 (p) 有相同的质因子，将两边按计算式展开再除过去就得到啦。

3.如果 (pmid n,p^2 mid n)，则 (varphi(n)=(p-1)varphi(n/p))。（积性函数定义，把 (n) 拆成 (n/p imes p) 就行辣

4.(sumlimits_{d|n}varphi(d)=n)
有点意思，记 (f(n)=sumlimits_{d|n}varphi(d))，若 (gcd(n,m)=1)，则

[f(mn)=sum_{dmid mn}varphi(d)=left(sum_{dmid n}varphi(d) ight)left(sum_{dmid m}varphi(d) ight)=f(m)f(n) ]

积性函数？？好，继续有

[f(n)=prod_{pmid n}f(p^c) ]

其中 (c) 为对应质因子的最高次数。
考虑单个 (f(p^c)) 怎么求。写开的话，就是

[f(p^c)=sum_{d|p^c}varphi(d)=sum^{c}_{i=0}varphi(p^i)=1+(1-frac{1}{p})sum^{c}_{i=1}p^i ]

发现后方是个等比数列，用公式日一下最后答案就是 (p^c)。因此

[f(n)=prod_{pmid n}p^c=n ]

UPD:更新一个欧拉定理的推论。
5.欧拉定理：若 (aot n)，则 (a^{varphi(n)}equiv 1pmod n)。
欧拉定理推论：

[a^bequiv egin{cases} a^{bmodvarphi(m)}&aot m\ a^b&b<varphi(m)\ a^{bmodvarphi(m)+varphi(m)}&bgeq varphi(m) end{cases}pmod m ]

上述证明需用到指数循环节的知识，略去。

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理论说完了，考虑这东西怎么线性筛。
直接上代码吧：

for(int i=2;i<=n;++i)
{
    if(!v[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
    for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j)
    {
        v[i*p[j]]=1;
        if(i%p[j]==0) {phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
        phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i];
    }
}

过年力……