前缀和以及差分问题：
导论：
该博客记录前缀和问题以及差分的解题步骤与相应公式;
理解其中变化，有不完善的地方慢慢补全；
如果有错误欢迎指出！
前缀和：
首先需要知道前缀和的概念：即数组该位置之前的元素之和。
还有一个重要的点，在进行前缀和的运算时，下标从1开始，设数组a[0]=0;
比如a[5] = {0,1,2,3,4};
求a[1]的前缀和：a[1];
求a[2]的前缀和：a[1]+a[2];
......
为什么下标要从1 开始：为了方便后面的计算，避免下标转换，设为零，不影响结果
前缀和的作用： 快速求出元素组中某段区间的和
一维数组的前缀和问题:
求数组a中（l，r）区间的和 --->用到前缀和
-
需要定义两个数组，第一个为原始数组(a[])，第二个为前缀和数组(s[])
//初始化原数组 int[] arr = new int[x]; for (int i = 1; i <= n; i++) { arr[i] = sc.nextInt(); } -
公式：s[i] = s[i-1]+a[i] {其中s[i]表示a数组的前i项的和}
//前缀和的计算 int[] s = new int[x]; for (int i = 1; i <=n ; i++) { s[i] = s[i-1]+arr[i]; } -
输入区间范围(l,r)，s[r]-s[l-1]的结果就是所求区间的和
sum[r] =a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]+a[l]+a[l+1]......a[r]; sum[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]; sum[r]-sum[l-1]=a[l]+a[l+1]+......+a[r];while (m-- !=0){ int l = sc.nextInt(); int r = sc.nextInt(); System.out.println(s[r]-s[l-1]); }
二维数组的前缀和问题:
方法与一维数组大体相同：需要中间数组s[i][j]
-
定义两个二维数组，第一个为原始数组
a[][],第二个为临时数组b[][]// 初始化原始数组 int[][] arr = new int[n+1][m+1]; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <=m ; j++) { arr[i][j] = sc.nextInt(); } } -
公式：
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + arr[i][j]
//定义s二维数组，求解前缀和s数组 int[][] s = new int[n+1][m+1]; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <=m ; j++) { s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+arr[i][j]; } } -
输入区间范围（x1,y1,x2,y2）,
s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]的结果就是所求区间的和；
//求解前缀和 while(q-- !=0){ int x1 = sc.nextInt(); int y1 = sc.nextInt(); int x2 = sc.nextInt(); int y2 = sc.nextInt(); int res = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]; System.out.println(res); }
差分问题：
首先明白差分的概念：差分其实就是前缀和的逆运算
差分的作用：如果对某个区间需要每个元素加上C则需要使用差分来减少时间复杂度
给定a[1],a[2]....a[n];构造擦划分数组b[N];使得a[i] = b[i]+b[2]+....+b[i];
差分的重点是：构造临时数组b[]
b[1] = a[1]
b[2] = a[2] - a[1]
b[3 ]= a[3] - a[2]
...
b[n] = a[n] - a[n-1]
两个数组：a[],b[]，a[]称为b[]的前缀和，b[]称为a[]的差分
差分的下标也是从1开始;
核心操作：
将a[L~R]全部加上C，等价于：b[L] +=C, b[R+1] -=C;
一维数组的差分问题：
-
首先初始化数组s[]
int[] b = new int[x]; for (int i = 1; i <=n ; i++) { a[i] = sc.nextInt(); } -
按照上面构造数组方式构造b[]数组(两种方法)，公式：b[i] = a[i]-a[i-1]
//构造差分数组 for (int i = 1; i <=n ; i++) { b[i] = a[i]-a[i-1]; } //插入方法：假设a[]中全部为0 则b[]也全部为0，可以执行插入操作 for(int i = 1; i <= n; i++){ insert(i,i,a[i]) }插入操作：
public static void insert(int l,int r,int c){ b[l] +=c; b[r+1] -=c; } -
将所求区间（l,r）在b[]数组划分出来并加上c,公式：b[l] +=c,b[r+1] -=c;
int l,r,c; l = sc.nextInt(); r = sc.nextInt(); c = sc.nextInt(); b[l] +=c; b[r+1] -=c;因为a[]数组是b[]数组的前缀和，b[]是a[]的差分，所以在b[]的某个区间上+c会影响的a区间上的结果
-
将差分数组转换成原数组，也就是求差分数组的前缀和,公式：a[i] = a[i-1] +b[i] //类比于s[i]=s[i-1]+a[i]
for (int i = 1; i <=n ; i++) { a[i] = a[i-1]+b[i]; System.out.print(a[i]+" "); }
二维数组的差分问题：
记住：a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组
二维差分的核心也是构造差分数组b[][],使得a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和；
怎么让子矩阵中的每个元素加上c;
先定义一个函数：
public static void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
b[x1][y1] += c;
b[x2+1][y1] -=c;
b[x1][y2+1] -=c;
b[x2+1][y2+1] +=c;
}
-
初始化原数组
a[][]for (int i = 1; i <=n; i++) { for (int j = 1; j <=m ; j++) { a[i][j] = sc.nextInt(); } } -
构造差分数组
初始化B数组从
[1][1]到[i][j]添加元素，就是将a[][]中的元素遍历到B数组中int[][] b = new int[x][x]; for (int i = 1; i <=n; i++) { for (int j = 1; j <=m ; j++) { insert(i,j,i,j,a[i][j]); } } -
输入矩形中需要+c的范围（x1,y1）(x2,y2)，在差分数组
b[][]中找到相应的范围+cwhile (q-- != 0){ int x1,y1,x2,y2; x1 = sc.nextInt(); y1 = sc.nextInt(); x2 = sc.nextInt(); y2 = sc.nextInt(); int c = sc.nextInt(); insert(x1,y1,x2,y2,c); } -
求
b[][]数组中的前缀和-->a[][];公式：b[i][j]=a[i][j]−a[i−1][j]−a[i][j−1]+a[i−1][j−1]for (int i = 1; i <=n ; i++) { for (int j = 1; j <=m ; j++) { b[i][j] = b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1] + b[i][j]; System.out.print(b[i][j]+" "); } } -
直接输出
b[][]中的元素就是a[][]数组中范围所需要+c的结果
结束：
感谢各位能看到最后