话说上一次写这个笔记是13年的事情了···那时候忙着实习，找工作，毕业什么的就没写下去了，现在工作了有半年时间也算稳定了，我会继续把这个笔记写完。其实很多章节都看了，不过还没写出来，先从第5章开始吧，第2-4章比较基础，以后再补！
第5章 Neural Networks
在第3章和第4章，我们已经学过线性的回归和分类模型，这些模型由固定的基函数（basis functions）的线性组合组成。这样的模型具有有用的解析和计算特性，但是因为维度灾难（the curse of dimensionality）（即高维数据）的问题限制了它们的实际的适用性。为了把这些模型应用在大数据的问题中，我们必须根据数据来调整这些基函数。
在第七章中会讨论SVM，是一个非常著名和有效的分类方法。SVM有其独特的方法理论，并且其一个重要的优点是：虽然涉及非线性优化，但是SVM本身的目标函数依然是convex的。在本章中不具体展开，第七章中有详述。
另外一个办法是虽然提前固定基函数的数量，但是允许它们在在训练的过程中调整其参数，也就是说基函数是可以调整的。在模式识别领域，该方法最为典型的算法是本章节将会讨论 的前向神经网络（feed-forward neural network，后面简称NN），或者称为多层感知器（multilayer perceptron）。（注：这里多层模型是连续的，如sigmoid函数，而perceptron方法原本是不连续的；perceptron方法在PRML书中没有介绍，后面根据其他的资料单独写一篇）。很多情况下，NN训练的模型相比具有相同泛化能力的SVM模型更紧凑（注：我理解是参数更少），因此跟容易评估，但是代价是NN的基函数不再是训练参数的convex函数。在实际中，在训练中花费大量计算资源以得到紧凑的模型，来快速处理新数据的情况是可以接受的。
接下来我们会看到，为了得到神经网络的参数，我们本质上是做了一个最大似然估计，其中涉及非线性优化问题。这需要对log似然函数针对参数求导数，我们后面会讲一下误差反向传播算法（error backpropagation，BP），以及BP算法的一些扩展方法。
5.1 Feed-forward Network Functions
在第3章和第4章中通论的线性模型，是基于固定的基函数
的线性组合，形式为：
其中，f()在分类问题中是一个非线性的激励函数，而在回归模型中是单位矩阵identity。我们的目标是把上面的模型中的基函数
变得依赖于参数，并且在训练的时候这些参数以及上面的wj都是可调整的。基函数的形式自然有很多种，神经网络的基函数采用和（5.1）相同形式，因此每个基函数本事就是一个关于input线性组合的非线性函数，线性组合中的参数是可以调整的参数。这就是基本的神经网络的思想，由一系列函数转换组成：首先我们构造针对输入变量
的M个线性函数
其中j=1,…,M，上标(1)表示参数是神经网络第一层的参数（input不算层）。我们称参数
为权重weights，而参数
是截距biases。
称为激励（activation），会通过一个可导的非线性激励函数h()转换成：
这些M个函数值就是（5.1）中的基函数的输出，在神经网络模型中，称之为隐含层单元（hidden units）。非线性激励函数h()通常的选择是sigmoid函数或者是tanh函数。根据（5.1），这些值会再一次线性组合成output单元的激励值，
其中k=1,…,K，K是output单元数量。这个转换是神经网络的第二层，
是bias参数。最终，这些output单元的激励值会再由合适的激励函数转换成合适的最终输出
。和上面的提到的类似，如果是要做回归问题，激励函数我们选择identity，即
；如果是做多个2分类问题，我们采用logistic sigmoid function：
如果是多个类别的分类问题，我们采用softmax函数，见PRML书公式（4.62）。
于是，我们把所有阶段都组合起来，可以得到总体的神经网络函数（采用sigmoid output单元，两层网络，如下面图5.1）：
因此，神经网络模型就是一个非线性函数，从输入的变量集合
到输出的变量集合
，并且由可调整的参数向量w来控制。网络的结构可以见图5.1，整个网络是向前传播的。
我们可以专门增加x0=1和z0=1两个变量输入，这样可以把bias（偏移、截距）项合并到累加里面，简化了表达，因此可以得到：
以及：
下面的推导会用（5.9）的形式。如果看过第四章关于感知机（perception）的介绍，就会发现上面的形式就相当于用了两层的感知机模型，也是因为这样，神经网络模型也被称为多层感知机（the multilayer perceptron, or MLP）模型。区别是感知机模型采用输出0/1的步长函数（step-function），而NN采用连续的如sigmoid这样的非线性函数在中间的隐藏层单元，说明NN对于参数是可导的，这一点在NN模型的训练中很重要。
如果隐层单元的激励函数都是采用线性的，那么不管连续几层，最终模型还是一个线性模型。而且如果隐层单元比输入单元或者输出单元少的话，那么就会有信息损失，类似于在隐层做了一次数据降维。目前来看，很少有人关注多层线性单元的神经网络模型。上面图5.1是一个最为典型的NN模型结构，它可以很容易的得到拓展——继续把输出层作为隐层，并增加新的层次，采用和之前一样的函数传递方法。业界在称呼NN模型的层次上有一些统一，有些人把图5.1叫做3层网络，而在本书中更推荐这个模型为2层，因为参数可调的层只有2层。
另外一种对模型的泛化方法是像图5.2这样，input的节点可以直接连接到output，并不一定需要一层一层传递。（注：这样的NN结构更广义，优化的时候BP也一样可以应付，但是是怎么产生这些越层连接的呢？这一点书中没有展开，不知道这样的模型在深度网络结构中有没有应用呢？有同学看到一定要留言告知哈~）
另外一个很重要的性质，NN模型可以是稀疏的，事实上大脑也是这样的，不是所有的神经元都是活跃的，只有非常少的一小部分会活跃，不同层的神经元之间也不可能是全连接的。后面再5.5.6节中，我们将看到卷积神经网络采用的稀疏网络结构的例子。
我们自然可以设计出更复杂的网络结构，不过一般来说我们都限定网络结构为前向网络，也就是说不存在封闭的有向环，可以见图5.2表示的那样，每一个隐层单元或者是输出单元可以通过下面计算得到：
于是，当有输入时，网络中的所有单元都会逐步被影响进而激活（也有可能不激活）。神经网络模型有很强的近似拟合功能，因此也被称为universal approximators.
事实上两层的NN模型就可以拟合任意function，只要隐层单元足够多以及参数训练的足够好。下面的图5.3说明了NN模型的拟合能力。解释请看图左边的描述。
5.1.1 权值空间的对称性
这是前向网络一个有趣的性质，比如我们来看图5.1这样的典型两层网络，考察一个隐层单元，如果我们把它的输入参数的符号全部取反，以tanh函数为例，我们会得到相反的激励函数值，即tanh(−a) = −tanh(a)。然后把这个单元所有的输出连接权重也都取反，我们又可以得到相同的output输出，也就是说，实际上有两组不同的权值取值可以得到相同的output输出。如果有M个隐层单元，实际上有2M种等价的参数取值方案。
另外，如果我们把隐层的两个单元的输入输出权重互相间调换一下，那么整个网络最终output是一样的，也就是说任何一种权重的取值组合是所有M!中的一种。可见上面这样的神经网络居然有M!2M的权值对称性可能。这样的性质在很多激励函数都是有的，但是一般来说我们很少关心这一点。