SG函数学（hua）习（shui）记录

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听说有一个东西叫SG函数

觉得自己好像原来是懂一些粗浅的应用但现在感觉要再深♂入一点呢

让我们先来介绍一下SG函数吧

这是某类满足下列条件的玄学博弈问题解法

• 双人、回合制；
• 信息完全公开（perfect information）；
• 无随机因素（deterministic）；
• 必然在有限步内结束（finite）；
• 没有平局；
• 双方可采取的行动相同（impartial）；
• 无法行动者判负（normal play）；

具体证明可以见https://zhuanlan.zhihu.com/p/20611132?columnSlug=maigo

那么我们现在有一个函数SG[i]表示某种状态的SG函数

且有SG[i] = mex{SG[k] | k->i(k是i的下一级状态)}   SG[i] = SG[a1]^SG[a2]^SG[a3]^...^SG[ak] (a1...ak是组成状态i的子状态)

如果SG[i] == 0 那么 i 是一种必败态，不然是一种必胜态

于是介绍完了

下面上例题

 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1022

#include<stdio.h>  
#include<stdlib.h>  
int main()  
{  
    int T,n,i,x,SG,flag;  
    scanf("%d",&T);  
    for(;T>0;T--)  
    {  
        scanf("%d",&n);  
        SG=flag=0;   
        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
            scanf("%d",&x);  
            SG^=x;  
            if(x!=1) flag=1; 
        }  
        if( (SG==0&&flag==0) || (SG!=0&&flag==1) ) printf("John
");  
        else printf("Brother
");  
    }  
    return 0;  
}  

 这是一道最简单的SG函数题，连SG函数都不用存就可以一路推推推推出终态的SG函数

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4035

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;
int n,T,SG1[N],SG2[N],m;

int read(){
    int f = 0; char ch = getchar();
    while (ch > '9' || ch < '0' ) ch = getchar();
    while (ch <= '9'&& ch >= '0') {
        f = f*10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return f;
}

int nxt(int x,int y){ return (x==y)?y+1:y/(y/(x+1)); }  

void GetSG(){ 
    int now,cnt,a[N]; bool bo[N];
    memset(SG1,0,sizeof(SG1));
    memset(bo,0,sizeof(bo));
    memset(SG2,0,sizeof(SG2));
    for (int i=1; i<=n; i=nxt(i,n)){  
        now=cnt=0;  
        for (int j=2; j<=i; j=nxt(j,i)){  
            int x=i/j; int t=(x>m)?SG2[n/x]:SG1[x];  
            a[++cnt]=now^t; bo[a[cnt]]=1;  
            if ((i/x-i/(x+1))&1) now^=t;  
        }  
        now=1; while (bo[now]) now++; 
        (i <= m) ? SG1[i] = now : SG2[n/i]=now;  
        for (int j=1; j<=cnt; j++) bo[a[j]]=0;  
    }  
}  

int main(){
    n = read();    T = read(); m = (int)sqrt(n); GetSG(); 
    while (T--){
        int cnt = read(),ans = 0,x;
        for (int i = 1; i <= cnt; i ++){
            x = n/read();
            ans^=(x>m)?SG2[n/x]:SG1[x];
        }
        puts((ans)?"Yes":"No");
    }
}

这题可以对每一个白格子位置搞SG：SG[i]=mex{SG[i*1]^SG[i*2]^...^SG[i*k]}，k∈[2,N/i]

但是我们会发现状态太多存不下

所以我们可以再推一推，发现每个SG函数只和n/i有关，所以状态数就变成了N^0.5个，大于N^0.5的状态就存在n/i里就好了

然后对于每一个状态，有很多状态都是冗余的，不需要计算，所以在循环的时候直接写成像这样就好了：

 for (int i = 1; i <= n; i = n/(n/(i+1))) // 记得判 i == n时不要让程序计算n/(n/(i+1))不然会除0 

——————————————————————————————————未完待 θ.θ 续——————————————————————————————————