机器学习公开课笔记第二周，线性回归的梯度下降法

一，梯度下降法Gradient Decent

当我们以线性回归的模型来拟合我们的数据集时，我们如何来确定假设函数的参数值呢？

首先我们以两个参数为例，即H_θ(x) = θ₀ + θ₁X，也就是一个一次函数，而代价函数，我们为了尽量拟合数据集，也就是选择合适的θ₀（截距）_， θ₁(斜率)使代价函数J(θ_0，θ₁)最小，

• 那我们该如何计算θ_0， θ₁？

假设θ₀=0，代价函数J就转变为关于θ₁的二次函数，因为开平方，所以二次项的系数一定是正数(高中数学)，所以代价函数J一定有最小值

此时我们可以画出J(θ₁₎的一种可能的二次函数分布图

由图可知，当θ₁=1时，J最小

• 那我们如何得到使J最小的θ₁值呢？

我们可以任取曲线上的一个θ，让它往最小值的方向移动，那我们怎么知道该往左移还是右移？

我们观察曲线发现，最低点(最小值)的斜率为0，最低点的左侧斜率小于0，右侧大于0，只需让θ减去该点的斜率就可以让它往最低点移动，当斜率为0时它就停在了最低点，也就是收敛于1

• 如果θ0一开始不设为0呢？

那我们可以画出关于代价函数J(θ₁,θ₂)的三维图

我们同样选取任意一点(θ₁,θ₂)，通过减去他们各自的在该点的斜率来到打最低点

数学上称这种求自求点斜率的方法为偏导，这种通过减去斜率的方法称为梯度下降法(Gradient Decent)

 

那我们如何确定向最低点移动的速度呢？

一方面是由该点的斜率来决定，另外由一个系数α学习速率决定，

1，α不能设太大，太大有时会越过最低点，不能使θ_j收敛于最低点使结果发散

2，α太小会使程序运行速度太慢

3，随着θ越来越接近最小值，偏导数越来越小，所以没有必要逐渐随着迭代次数的增加减小学习速率α

　　对每次的移动必须同时进行，并和成各个方向上的位移，即每一次减偏导必须对每个θj同时进行

 两个参数的线性回归求完偏导数之后每次迭代的公式

 多个参数的线性回归求完偏导数之后每次迭代的公式

梯度下降法会到达局部最低点(由起点决定，即θ₁和θ₂的初始值决定)，不一定会到达全局最优点

二，梯度下降法的优化方法

1，特征缩放(Feature Scaling)

当不同的特征值大小范围不一致时，算法运行效率会很低，我们一般把它缩放到-1<=x<=1或,-0.5<=x<=0.5，通过(x-mean)/range公式，

 2，学习速率α

如何确定学习速率并不是一件简单的事

一种方式是绘制一张横坐标是迭代次数，纵坐标是代价函数的函数图，看是否单调递减，如不是需要减小学习速率α

总的来说，学习速率太小，代价函数收敛太慢，程序云星很慢，学习太大，代价函数没有单调递减，甚至可能会发散，也就到不了最小值

3，特征和多项式回归（Features and Polynomial Regression）

当我们拿到数据集先可以进行预处理，使机器学习的结果更好

1）我们有时可以根据各个特征之间关系来合并特征，比如说房子的长度和宽度，我们可以让他们相乘合成一个新的特征面积

2) 我们之前线性回归的假设函数都是多元一次函数，如果我们的想要多元多次的假设函数呢？H_θ(x) = θ₀ + θ₁X², 我们可以用新的特征来表示X'来表示X²,一样能转化为多元一次表示假设函数H_θ(x) = θ₀ + θ₁X'，

　　不过需要注意的事，X的范围也随着新的特征放大了，要进行特征缩放

4，正规方程(Normal Equation)

还有一种在线性代数中叫做正规方程的数学方法求θ

 

梯度下降法和正规方程各有各的优点，以下是他们的区别，总的来说，

1，梯度下降法需要选择学习速率，正规方程不需要

2，梯度下降法需要迭代，正规方程不需要

3，梯度下降法时间复杂度是(KN²)，正规方程时间复杂度是O(N³)

当特征少于10000时，使用正规方程，否则使用梯度下降法