一，主成分分析法(Principal Component Analysis)
1，主成分分析法(PCA)是比较常用的数据压缩算法，把高维度数据投影到低维度平面（超平面）上，使投影误差平方最小
2，PCA与线性回归区别
在代价函数里线性回归计算的是预测值与实际值的误差(y的差值)，PCA里计算的是投影与原特征的差值(x的差值), PCA不需要y值
二，PCA计算方法
1，PCA算法的预处理
进行PCA之前先进行特征缩放，使所有的特征的数据范围在同一量级，否则会造成有些取值范围大的特征投直接全部落到超平面上，投影误差小，范围小的投影误差大
2，PCA算法的目标
假如从n维数据降到k维数据，目标是找到代表投影平面的k个向量(u^{(1)}, u^{(2},.... u^{(k})，把该数据到超平面的投影来代替原始数据
3，PCA算法步骤
从n维降到k维的算法步骤：
1)，计算协方差矩阵(covariance matrix)
(sum = frac{1}{m} sum_{i=1}^{i=m}(X^{(i)})(X^{(i)})^T = frac{1}{m} (X^{T}*X))
2)，计算协方差矩阵(covariance matrix)的特征向量(eigenvector)
[U, S, V] = svd(Sigma);
(U = egin{bmatrix}
| & | & | & ... & | \
u^{(1)} & u^{(2)} & u^{(3)} & ... & u^{(n)} \
| & | & | & ... & |
end{bmatrix} in mathbb{R}^{n ast n} )
3)，选定U的前k列乘以X获得投影之后的坐标(特征)Z
(z = egin{bmatrix}
| & | & | & ... & | \
u^{(1)} & u^{(2)} & u^{(3)} & ... & u^{(k)} \
| & | & | & ... & |
end{bmatrix}^{T} * x, x in mathbb{R}^{n ast 1})
(Z^ = X * egin{bmatrix}
| & | & | & ... & | \
u^{(1)} & u^{(2)} & u^{(3)} & ... & u^{(k)} \
| & | & | & ... & |
end{bmatrix}, X in mathbb{R}^{m ast n} )
4，Octave或MATLAB伪代码
5,从投影数据还原成原数据
设(Ureduce = egin{bmatrix}
| & | & | & ... & | \
u^{(1)} & u^{(2)} & u^{(3)} & ... & u^{(k)} \
| & | & | & ... & |
end{bmatrix} )
(x_{approx} = Ureduce * z)
(X_{approx} = Z * Ureduce^{T})
还原回的(x_{approx})与原(x)应该非常接近
三，使用PCA算法的建议
1，如何选择投影平面的维度K的大小
求出差异性小于0.01~0.05的k的最小值，保留99%~95%的差异性
(frac{frac{1}{m}sum_{i=1}^{m} left | x^{(i)} - x_{approx}^{(i)} ight | ^{2}}{frac{1}{m}sum_{i=1}^{m} left | x^{(i)} ight |^{2}} leqslant 0.01 sim 0.05)
2，选择k的算法步骤
一种是从小到大依次选择k值，计算差异值是否符合自己的要求，这样至多会执行n次SVD算法
还有一种是利用SVD算法返回的S值
S是一个对角矩阵(对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵)
(S = egin{bmatrix}
S_{11} & 0 & 0 & 0 & 0\
0 &S_{22} & 0 & 0 & 0\
0 & 0 &S_{33} & 0 & 0\
0 & 0 & 0 &... & 0\
0 & 0 & 0 & 0 &S_{nn}
end{bmatrix})
对于给定k
(frac{frac{1}{m}sum_{i=1}^{m} left | x^{(i)} - x_{approx}^{(i)} ight | ^{2}}{frac{1}{m}sum_{i=1}^{m} left | x^{(i)} ight |^{2}} = 1 - frac{sum_{ii=1}^{k}S_{ii}}{sum_{ii=1}^{n}S_{ii}} leqslant 0.01 Rightarrow frac{sum_{ii=1}^{k}S_{ii}}{sum_{ii=1}^{n}S_{ii}} geqslant 0.99)
总结起来就是
3，PCA应用于监督学习(Supervised Learning)
PCA可压缩监督学习的数据特征，从而提高学习算法的速率，由((x^{(1)}，y^{(1)})，(x^{(2)}，y^{(2)})，..... ，(x^{(m)}，y^{(m)}) Rightarrow (z^{(1)}，y^{(1)})，(z^{(2)}，y^{(2)})，..... ，(z^{(m)}，y^{(m)}))
如果无监督学习应用PCA，不仅要应用于(X_{train})，而且要应用于(X_{CV})，(X_{test})
4，PCA应用
PCA应用于数据压缩和数据可视化
5，PCA不能用于抑制过度拟合
因为用PCA压缩数据，数据多少总会失真，抑制过度拟合最好还是用正则化
6，不要在设计机器学习系统的开始阶段就使用PCA
PCA是一种会使原始数据失真的优化方法，不要一开始就使用
使用PCA之前必须先用原来的方法试试，如果学习速度太慢不符合要求，或者想可视化数据，第二次再使用PCA算法
