HDU 2191 悼念汶川地震（多重背包）

思路：

　　多重背包转成01背包，怎么转？把一种大米看成一堆单个的物品，每件物品要么装入，要么不装。复杂度比01背包要大。时间复杂度为O(vns)（这里S是所有物品的数量s之和）。这个做法太粗糙了，但就是AC了。假如某一种大米有很多件，那麻烦大了。

　　0MS　　1084K　　706B　　C++

　　这是用“单纯转01背包”实现的，速度还这么快，还需优化不？

# include <stdio.h>
# include <string.h>
int dp[101] ;//转成01背包的解法，没有任何优化。
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main ()
{
    int T, ans, n, m ;
    int p, h, c, i, j ;
    scanf ("%d", &T) ;
    while (T--)
    {
        scanf ("%d%d", &n, &m) ;    //n是经费，m是种类
        memset (dp, 0, sizeof(dp)) ;
        ans = 0 ;
        while (m--)
        {
            scanf ("%d%d%d", &p, &h, &c) ;
            for(i = 1 ; i<=c ; i++)        //m是经费
            {
                for(j = n ; j >= p ;j--)
                {
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-p]+h);
                }
            }
        }
        printf ("%d
", dp[n]) ;
    }
    return 0 ;
}

未实现的想法：按照完全背包的做法，在里面加一些东西来控制“数量不够”的情况。当数量已达上限，用做大数量来代替，那么需要比较的两个dp值就是dp[j]与dp[j-1]，分别代表不装、装满。另用一个数组来记录每个不同的经费上限对应dp数组中所用的第i种大米的数量。这个数组要在不同i时更新为0，有开销。这个想法实现不了。

#include <iostream>
#define limit 110
using namespace std;
int p[limit];    //单价
int h[limit];    //净重
int c[limit];    //数量上限
int u[limit];    //已买的数量
int dp[limit];
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
void cal(int n,int m)
{
    int temp=0,j,i;
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        for(j=0;j<=n;j++)    //初始化数组u
            u[j]=0;
        for( j=p[i];j<=n;j++)
        {
            temp=max( dp[j],dp[j-p[i]]+h[i] );
            if(temp==dp[j-p[i]]+h[i])    //需要加多一件
            {
                if(u[j-p[i]]<c[i])    //第i件还有剩余，可以买。
                {
                    u[j]=u[j-p[i]]+1;
                    dp[j]=temp;
                }
                else    //被用光了，但是为了防止前大于后的情况，在不能追加的情况下，仍需比较前后的大小，保证后总大于前
                {
                    dp[j]=max(dp[j-1],dp[j]);    //仅需比较1个，因前面每个所使用的并不是升序的，可能无序的
                    if(dp[j]==dp[j-1])
                        u[j]=u[j-1];//因为u[j]本来就是0，所以else的情况不用赋零
                }
            }
        }
    }
    return;
}
void main()
{
    int q,n,m,i;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d%d",&n,&m);    //经费的金额   大米的种类
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);    //分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数
        }
        cal(n,m);
        printf("%d
",dp[n]);
    }
}

可行的思路①：01背包+二进制法。 二进制的真谛啊。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define limit 110
using namespace std;
int p[limit];    //单价
int h[limit];    //净重
int c[limit];    //数量上限
int dp[limit];

int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
void cal(int n,int m)
{
    int temp=0,j,i,k,nCount;
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        k = 1;
        nCount = c[i];
        while(k <= nCount)
        {
            for( j=n;j>=k*p[i];j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - k*p[i]] + k*h[i]);
            }
            nCount -= k;
            k <<= 1;    // <<就是左移
        }
        if(nCount!=0)    // 不是刚好2的几次方，另外处理
            for( j=n; j>=nCount*p[i] ;j-- )    
            {
                dp[j] = max( dp[j] , dp[j - nCount*p[i]] + nCount*h[i] );
            }
    }
}
void main()
{
    int q,n,m,i;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d%d",&n,&m);    //经费的金额   大米的种类
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);    //分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数
        }
        cal(n,m);
        printf("%d
",dp[n]);
    }
}

　　讲一下用01背包+二进制法：将每种大米的件数分成1,2,4,8,16,32....这么多份，即1+2+4+8+....=第i种大米的件数。 在分的时候最后一件不一定刚好是2的几次方形式，是多少就是多少，待单独处理。那么假如13就分成了1，2，4，6了，这里的6就是不足2^3=8才是6的。在单纯转01背包的方式中，每种大米的每一件都单独处理，而二进制法是将分好的几件归为一件对待。比如第一种大米是13件，在单纯转01背包时，最里层是需要13次循环的，但是在二进制法的01背包中，它被分成1，2，4，6件共4堆，我们把每堆当成一件，捆绑在一起的，在更新dp数组的时候按大小的顺序来循环，即第1次循环是1件，第2次循环是2件套装，第3次循环是4件套，第4次循环是6件套。这里的最里层循环就变成了4次循环了。减少的计算量是很客观的。

15MS　　1096K　　1030B　　c++ 　

可行的思路②：在转成01背包上作优化。完全背包+01背包来解，即：某一种大米的数量*单价>=经费，那么就是完全背包型；否则就是01背包型。但如果遇到都是01背包型，此优化没用了。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define limit 110
using namespace std;
int p[limit];    //单价
int h[limit];    //净重
int c[limit];    //数量上限
int dp[limit];
int n,m;
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
void _01pack(int n_p,int n_h)    //01背包
{
    for (int j = n;j >= n_p;j--)
    {
        dp[j] = max(dp[j],dp[j - n_p] + n_h);
    }
}
void cpack(int n_p,int n_h)    //完全背包
{
    for (int j = n_p;j <= n;j++)
    {
        dp[j] = max(dp[j],dp[j - n_p] + n_h);
    }
}


void cal()
{
    int i,k,nCount;
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        if (p[i] * c[i] >= n)
            cpack(p[i],h[i]);
        else
        {
            k = 1;
            nCount = c[i];
            while(k <= nCount)
            {
                _01pack(k * p[i],k * h[i]);
                nCount -= k;
                k *= 2;
            }
            _01pack(nCount * p[i],nCount * h[i]);
        }
    }
}
void main()
{
    int q,i;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d%d",&n,&m);    //经费的金额   大米的种类
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);    //分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数
        }
        cal();
        printf("%d
",dp[n]);
    }
}

15MS　　1096K　　1181B　　c++ 　　

其他可行的思路：队列法。复杂度为O（vn），还没理解。所以没代码。