HDU 2546 饭卡(带限制的01背包变形)

思路：有几个解法，如下

1）先拿出5块买最贵的菜，剩下的菜再进行01背包。如何证明正确性？设最贵的菜价e，次贵的菜价s，设减去5后的余额为x，会不会产生这样的情况，假设用5元买了e，余额最多能买到x-2钱的菜，那么共买到是x-2+e。而如果挑出s，并且有其他菜价组合加上e等于x呢？不知怎么证明。但是能AC，没有实现。

2）将余额-5作为背包容量，进行01背包，dp时记录下每种背包容量中所不包含的最大菜价，这个菜最后用那5元来买。同样，不知道如何证明。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1005;
int price[N];
int raw[N];
int dp[N];
int mon, n;

void cal()
{
    sort(price,price+n); //先排序
    
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        if(mon-5>=price[i])
            for(int j=mon-5; j>=price[i]; j--)
            {
                if(dp[j-price[i]]+price[i]>dp[j] )
                {
                    dp[j]=dp[j-price[i]]+price[i];
                    raw[j]=raw[j-price[i]]; //记录最大的菜价
                }
                else
                    raw[j]=price[i];
            }
        else //为了防止余额连一个都买不上的情况
            for(int j=mon; j>0; j--)
                raw[j]=price[i];
    }
    int ans=0;
    for(int i=1; i<=mon; i++) //扫出所有可能最大的组合
    {
        ans=max(dp[i]+raw[i],ans);
    }
    cout<<mon-ans<<endl;
}


int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    while(cin>>n,n)
    {
        memset(raw, 0, sizeof(raw));
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        memset(price, 0, sizeof(price));
        
     
         for(int i=0; i<n; i++)
             scanf("%d", &price[i]);
         cin>>mon;
         if(mon<5)
         {
             cout<<mon<<endl;
             continue;
         }
         cal();
    }
    return 0;
}