ACM的数学基础

 懒得整理了，请勿往下看。

 

　  （一）欧拉函数

　　设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。有如下一些性质：

　　（1）欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

　　（2）特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。欧拉函数值总是为偶数（除了特殊情况）。

　　（3）若n为质数则φ(n)=n-1。

　　（4）若n=p^k，φ(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

　　（5）φ函数值的通式：φ(x)=x*(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*(1-1/p₃)*(1-1/p₄)*…..*(1-1/p_n)，其中p1, p2……pn为x的所有质因数，且x>=2。特殊情况 φ(1)=1。 (注意：每种质因数只需要一个。

　　比如12=2*2*3那么φ(12)= 12*(1-1/2)*(1-1/3)=4，因为1，5，7，11均和12互质。比如φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

　  （二）欧拉定理

　　　　若n与a互质，且皆为正整数，则。

　  （三）乘法逆元

　　 定义：满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

　　（1）为什么要有乘法逆元呢？

　　　答：当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。

　　　定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1

　　（2）如何求解 （a/b） mod p 的结果？

　　　答：我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p（ 即ans=(a*k)%p，这样就比较好算了 ）。其结果与 (a/b) % p 等价。

　　（3）如何证明？

　　证明：
　　　　根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1，那么k=(p*x+1)/b。
　　　　把k代入(a*k) mod p，得：
　　　　　　(a*(p*x+1)/b) mod p
　　　　=((a*p*x)/b+a/b) mod p
　　　　=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
　　　　=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
　　　　//注：p*[(a*x)/b] mod p=0，因为既然要取模，a/b的结果肯定是为正整数。
　　　　所以原式等于：(a/b) mod p 

　　证毕！

 

 　　补：还有一条公式也是用于求模用的：

 

　　　　　　　　（ans表示我们要求的结果，且无需考虑所有数字的特殊性）