题目如下：
有一个六个面均匀的骰子，不停地抛，直到连续两次抛出6就停止。求停止时抛的次数的数学期望。
OK，非常经典的一道题目，而且特别容易进行扩展。
以下给出两种解法：
解法一：分析法（找不到更好的描述了。。。）
首先，如果在第n次失败了，那么第n+1次之后的抛骰子行为是与前n次的具体情况毫无关系的
因此，我们可以定义一个“节”，即上一次失败到这一次失败/成功之间经历的次数。
显然，节与节之间是没有任何关联性的。
而每个节的长度的数学期望为：
1 * 5/6 + 2 * 1/6 * 1/6 + 2 * 1/6 * 5/6 = 7/6
而对于每个节，成功的概率为1/6 * 1/6 = 1/36
因此，连续出两次6的数学期望为(7/6) / (1/36) = 42
这个方法有些抽象，不太好理解
解法二：构造概率模型套数学期望公式计算
这条路特别费劲还不太通用，但是本人第一次做这个题目的时候居然是这么做出来的|||- -只能说我脑回路有点古怪
首先，假设停止时恰好抛了x次，则恰好在第x次停止的概率为p(x)
那么题目求的数学期望就可以表示为：
E(x) = 1 * p(1) + 2 * p(2) + ... + x * p(x) + (x+1) * p(x+1) + ...
另外，由全概率公式可以得到，
p(1) + p(2) + ... + p(x) + ... = 1
接下来看一些比较特殊的情况
显然，只抛一次是不可能出现连续两个6的，所以有
p(1) = 0
而抛两次就停止的话，必须两次都是6，所以有
p(2) = 1/6 * 1/6 = 1/36
抛三次才停止的话，必须第一次不是6，而第二、三次都是6，所以有
p(3) = 5/6 * 1/6 * 1/6 = 5/216
我们试着推广到x>3的情况。思路如下：
(1) 如果恰好在第x次停止，那么前x-3次必然是恰好都没有停止的；
(2) 最后三次需要满足：第x-2次不是6；第x-1次和第x次都是6；
于是得到x>3时有
p(x) = (1 - p(1) - p(2) - ... - p(x-3)) * 5/6 * 1/6 * 1/6
用全概率公式把1 - p(1) - p(2) - ... -p(x-3)代换一下，得到
p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216
所以，可以得到：
p(4) = (p(2) + p(3) + ...) * 5/216
p(5) = (p(3) + p(4) + ...) * 5/216
...
p(x) = (p(x-2) + p(x-1) + ...) * 5/216
p(x+1) = (p(x-1) + p(x) + ...) * 5/216
我们把这些式子加起来，得到
p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... =
5/216 * ( p(2) + 2 * p(3) + 3 * p(4) + ... + (x-1) * p(x) + x * p(x+1) + ...) =
5/216 * ( E(x) -1 )
然后
p(4) + p(5) + ... + p(x) + p(x+1) + ... = 1 - p(1) - p(2) - p(3) = 205/216
于是有
E(x）- 1 = 41
E(x) = 42
此解法用到的知识点为:
(1) 全概率公式
(2) 数学期望
(3) 通项公式的推导
=====================
另外附上一道用解法一求解的有关游戏里装备强化的数学题目，这题是某今年网易游戏来学校校招的笔试题，
当时印象中师弟们没有人能做对，后来花了不少时间研究也没能得到结果。题目如下：
一件装备，从1级升到2级的成功率是100%，2级到3级的成功率是80%，3级到4级的成功率是60%，4级到5级的成功率是40%。
如果升级失败，则无论当时装备为几级，都会掉回1级。
请问该装备从1级升到5级所需要的强化次数的数学期望是多少次？
解：
一件装备，从1级开始强化，直到升至5级或者降回1级，可以作为一个“节”
同样，节与节之间是没有相互关联的
那么某个节成功的概率是：100%*80%*60%*40% = 24/125，失败的概率是101/125
而某个节内强化次数的数学期望计算步骤如下：
强化1次（1升2失败），概率为0%，因为1升2根据题设是不会失败的；
强化2次（2升3失败），概率为100%*20% = 1/5
强化3次（3升4失败），概率为100%*80%*40% = 8/25
强化4次（4升5失败或者成功），概率为100%*80%*60%=12/25
即完成这一强化过程（升至5级或者回到1级）需要强化次数的期望是(12/25)*4 + (8/25)*3 + (1/5)*2 + 0*1 = 82/25次
也就是说强化82/25次，就有24/125的几率强化至5级，同时有101/125的几率降回1级
因此，升级至5级的期望次数是（82/25）/（24/125）= 205/12次，大约为17次强一点