最近无聊去玩了一圈微信出的小程序“头脑王者”。结果遇到了这么一道数学题：
已知 x + 1/x = 5 ，那么 x^4 + 1/x^4 = ?
卧槽，只有10秒钟作答好么，这种题目怎么可能在10秒内做出来？除非背答案吧。
不过这题目本身还是很有意思的，以下给出三种解法。
解法一：暴力套求根公式方法求解
x + 1/x = 5 =>
x^2 - 5x + 1 = 0
套一下求根公式，就能得到
x = (5 ± √21）/ 2
再把x的两个可能的值代入到x^4 + 1/x^4里面，就能得到答案了。
不过嘛，这个计算过程中很容易出错，而且费劲，不推荐使用；
解法二：利用中间结果求解
x + 1/x = 5 =>
(x + 1/x) ^ 2 = 25 =>
x^2 + 2 + 1/x^2 = 25 =>
x^2 + 1/x^2 = 23
然后利用x^2 + 1/x^2 = 23这个中间结果，继续推导
x^2 + 1/x^2 = 23 =>
(x^2 + 1/x^2) ^ 2 = 529 =>
x^4 + 2 + 1/x^4 = 529 =>
x^4 + 1/x^4 = 527
OK，步骤简介计算方便，基本上不太可能出错，可以说是本题的最优解法
不过嘛，能10秒之内心算出来的大佬，我觉得非常值得佩服
解法三：代换思想
OK，我们接下来玩一点机灵，尽管整体解题时间未必就比直接套求根公式快多少：
x^2 - 5x + 1 = 0 =>
x^2 = 5x - 1 =>
x^4 = (x^2)^2 = (5x-1)^2 = 25x^2 - 10x +1 = 25(5x-1) - 10x + 1 = 115x - 24
上面三步的思想就是典型的变量代换，从而达到降低次幂的目的，最终就把x^4的计算简化为了ax+b的计算
于是x^4 + 1/x^4 = (115x-24) + 1/(115x-24)了
那么，已知x + 1/x = m的时候(此题中m=5)，(ax+b）+ 1/(ax+b) 又等于多少呢？(此题中a=115，b=-24）
似乎进入了另外一个问题||| - -
OK，继续推导。
x + 1/x = m =>
x^2 - mx +1 = 0
假设(ax+b) + 1/(ax+b) = n，那么有
(ax+b)^2 -n(ax+b) + 1 = 0
整理一下得到
(a^2)x^2 + (2ab-an)x + (b^2-bn+1) = 0 此为式1
再由x^2 - mx +1 = 0 =>
(a^2)x^2 - (a^2)mx + a^2 = 0 此为式2
由于式1和式2是对于x同时成立的，因此有：
2ab - an = (a^2)m ， 后面的常数项由于与n的计算无关就不列出来了
于是2ab - an = -(a^2)m => (注意负号别漏掉了)
an = 2ab + (a^2)m =>
n = 2b + am
OK，原来n可以如此简洁地就可以用a、b和m来表示了
我们愉快地将m=5，a=115，b=-24代入，就能得到
x^4 + 1/(x^4) = (115x-24) + 1/(115x-24) = 2*(-24) + 115*5 = 575 - 48 = 527
OK，这简直可以算是另外一道题了
顺便吐槽下博客园的公式编辑器，总得来说用起来不舒服，所以还是不用了