【剑指offer】面试题30：最小的 K 个数

题目：输入 n 个整数，找出其中最小的 k 个数。例如输入4、5、1、6、2、7、3、8 这 8 个数字，则最小的 4 个数字是 1、2、3、4。

 这道题最简单的思路莫过于把输入的 n 个整数排序，排序之后位于最前面的 k 个数就是最小的 k 个数。这种思路的时间复杂度显然是 O(n*lgN)。

 解法二、O(n*lgN) 的算法，特别适合处理海量数据

我们可以先创建一个大小为 k 的数据容器来存储最小的 k 个数字。接下来，我们每次从输入的 n 个整数中读入一个数。

1、如果容器中已有的数字少于 K 个，则直接把这次读入的整数放如容器之中；

2、如果容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字，并找到已有的 K 个数字中的最大值 KMax。然后与这次待插入的整数和最大值 KMax 进行比较，如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换当前已有的最大值 KMax；如果待插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的 k 个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做 3 件事情：

　1）在 k 个整数中找到最大数；

　2）有可能在这个容器中删除最大数；（待插入的值比当前已有的最大值小）

　3）有可能要插入一个新的数字。（替换删除KMax）

如果利用一个二叉树（如最大堆）来实现这个数据容器，那么我们能在 O(lgN) 时间内实现这三个操作。因此对于 n 个输入数字而言，总的时间效率就是 O(n*lgN)。

在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中的任意结点的值。于是我们每次都可以在 O(1) 得到已有的 k 个数字中的最大值，需要 O(logK)时间完成插入及删除操作。

找到并打印最小的K个数：

void printKMinNums(int *arr, int nLen, int Kth) // 打印出最小的k个数
{
    if(arr == NULL || nLen <= 0 || Kth <= 0 || nLen < Kth)
        return;

    Create_Heap(arr, Kth); // 建立只有k个数的大顶堆

    int i;
    for(i = Kth; i < nLen; ++i) // 遍历其余数字
    {
        if(arr[i] < arr[0]) // 比最大值小，删除最大值，插入当前值
        {
            swap(arr, arr + i); // 与当前最大值交换
            adjustHeap(arr, 0, Kth); // 调整大顶堆，找出大顶堆的最大值
        }
    }

    printf("The KMinNums: "); // 打印最小的k个数
    printArr(arr, Kth);
}

建立大顶堆：

void Create_Heap(int *arr, int nLen) // 建堆
{
    int i;
    for(i = nLen/2 - 1; i >= 0; --i) // 从最后一个含有孩子的结点开始
    {
        adjustHeap(arr, i, nLen);
    }
}

调整为大顶堆：

void adjustHeap(int *arr, int index, int nLen) // 调整
{
    int left = 2 * index + 1;
    int maxIndex; // 根结点与左右孩子三者之间的最大值的下标

    while(left < nLen)
    {
        if(arr[left] > arr[index]) // left Child
            maxIndex = left;
        else
            maxIndex = index;

        if(left + 1 < nLen && arr[left+1] > arr[maxIndex]) // right Child 
            maxIndex = left + 1;

        if(maxIndex != index) // 不是当前根结点
        {
            swap(arr + index, arr + maxIndex);
            index = maxIndex;
            left = 2 * index + 1;
        }
        else
             break;
    }
}

完整的代码如下：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "time.h"

#define N 9

void Create_Heap(int *arr, int nLen); // 建堆
void adjustHeap(int *arr, int index, int nLen); // 调整

void swap(int *left, int *right)
{
    int tmp = *left;
    *left = *right;
    *right = tmp;
}

void initArr(int *arr, int nLen)
{
    int i;
    for(i = 0; i < nLen; ++i)
        arr[i] = rand()%100;
}

void printArr(int *arr, int nLen)
{
    int i;
    for(i = 0; i < nLen; ++i)
        printf("%d ", arr[i]);
    printf("
");
}

// ========================================分割线======================================

void printKMinNums(int *arr, int nLen, int Kth) // 打印出最小的k个数
{
    if(arr == NULL || nLen <= 0 || Kth <= 0 || nLen < Kth)
        return;

    Create_Heap(arr, Kth); // 建立只有k个数的大顶堆

    int i;
    for(i = Kth; i < nLen; ++i) // 遍历其余数字
    {
        if(arr[i] < arr[0]) // 比最大值小，删除最大值，插入当前值
        {
            swap(arr, arr + i); // 与当前最大值交换
            adjustHeap(arr, 0, Kth); // 调整大顶堆，找出大顶堆的最大值
        }
    }

    printf("The KMinNums: "); // 打印最小的k个数
    printArr(arr, Kth);
}


void adjustHeap(int *arr, int index, int nLen) // 调整
{
    int left = 2 * index + 1;
    int maxIndex; // 根结点与左右孩子三者之间的最大值的下标

    while(left < nLen)
    {
        if(arr[left] > arr[index]) // left Child
            maxIndex = left;
        else
            maxIndex = index;

        if(left + 1 < nLen && arr[left+1] > arr[maxIndex]) // right Child 
            maxIndex = left + 1;

        if(maxIndex != index) // 不是当前根结点
        {
            swap(arr + index, arr + maxIndex);
            index = maxIndex;
            left = 2 * index + 1;
        }
        else
             break;
    }
}

void Create_Heap(int *arr, int nLen) // 建堆
{
    int i;
    for(i = nLen/2 - 1; i >= 0; --i) // 从最后一个含有孩子的结点开始
    {
        adjustHeap(arr, i, nLen);
    }
}


int main(int argc, char *argv[])
{
    srand(time(NULL));  

    int arr[N] = {0};
    initArr(arr, N);
    printf("Before: ");
    printArr(arr, N);

    printKMinNums(arr, N, 5); // 最小的五个数

    printf("After: ");
    printArr(arr, N);

    return 0;
}

本文完。