[BZOJ2616]SPOJ PERIODNI(笛卡尔树+树形dp)

题面

http://darkbzoj.tk/problem/2616

题解

前置知识

• 笛卡尔树 https://blog.csdn.net/qq_36056315/article/details/79845193

先建出笛卡尔树，并定义几个变量：

(lb[i])表示第i列左侧第一个低于i的位置。

(rb[i])表示第i列右侧第一个低于i的位置。

(dh[i]=h[i]-max(h[lb[i]],h[rb[i]]))

(S_i)描述一个图形：截取原图中的lb[i]+1到rb[i]-1列，并把最下方h[i]行去掉。

然后就可以描述转移函数：$f[u][x] (表示)S_i$中放入x个车的方案数。

由于lb[u]+1到rb[u]-1这些点正好构成了笛卡尔树中u的子树，所以转化为一个树形dp。并且，有u的子树大小sz[u]=rb[u]-lb[u]+1。

for(int i = 0;i <= sz[lc[u]];i++)
	for(int j = 0;j <= sz[rc[u]];j++)
		for(int d = 0;i + j + d <= sz[u];d++)	
			f[u][i+j+d] += f[lc[u]][i] * f[rc[u]][j] % mod * C(sz[u]-i-j,d) % mod * P(dh[u],d) % mod);

其中lc[u],rc[u]代表u的左右子节点，C、P代表组合数与排列数。

这是为什么呢？(S_u)其实就是(S_{lc[u]})与(S_{rc[u]})“中间隔一格”拼在一起，再在下面加上(dh[u])行所得。代码中d枚举的就是下面这dh[u]行中共放了几个车。如果(S_{lc[u]})中放了i个车，(S_{rc[u]})中放了j个车，那么(S_u)中还没被占用的列数就是(sz[u]-i-j)。在这些列中选出无序的d列，再在最下面添加的dh[u]行中选出有序的d行放车，这就解释了上面这个转移方程。

时间复杂度方面，由于i和j都只枚举到对应的sz，所以总时间复杂度为(O(n^3))。

• P.S.这一过程还可以用卷积优化。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long
#define rg register
#define In inline

const int N = 500;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll W = 1e6;

namespace ModCalc{
	In void Inc(ll &x,ll y){
		x += y;if(x >= mod)x -= mod;
	}
	In void Dec(ll &x,ll y){
		x -= y;if(x < 0)x += mod;
	}
	In ll Add(ll x,ll y){
		Inc(x,y);return x;
	}
	In ll Sub(ll x,ll y){
		Dec(x,y);return x;
	}
}
using namespace ModCalc;

int n,k;
ll jc[W+5],iv[W+5];

ll power(ll a,ll n){
	ll s = 1,x = a;
	while(n){
		if(n & 1)s = s * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return s;
}

void prepro(){
	jc[0] = 1;
	for(rg int i = 1;i <= W;i++)jc[i] = jc[i-1] * i % mod;
	iv[W] = power(jc[W],mod - 2);
	for(rg int i = W - 1;i >= 0;i--)iv[i] = iv[i+1] * (i + 1) % mod;
}

In ll C(ll n,ll m){
	if(n < m)return 0;
	return jc[n] * iv[m] % mod * iv[n-m] % mod;
}

In ll P(ll n,ll m){
	if(n < m)return 0;
	return jc[n] * iv[n-m] % mod;
}

struct CartTree{
	int top,rt;
	int fa[N+5],lc[N+5],rc[N+5],sz[N+5];
	ll h[N+5],dh[N+5],f[N+5][N+5];
	int st[N+5];	
	In void build(){
		for(rg int i = 1;i <= n;i++){
			scanf("%lld",&h[i]);
			while(top && h[st[top]] > h[i])
				lc[i] = st[top--];
			fa[i] = st[top];
			if(!fa[i])rt = i;else rc[fa[i]] = i;
			if(lc[i])fa[lc[i]] = i;
			st[++top] = i;
		}
		f[0][0] = 1;
	}
	In void prepro(int u){
		int l = u;while(lc[l])l = lc[l];
		int r = u;while(rc[r])r = rc[r];
		dh[u] = h[u] - max(h[l-1],h[r+1]);
	}
	In void dfs(int u){
		if(lc[u])dfs(lc[u]);
		if(rc[u])dfs(rc[u]);
		sz[u] = sz[lc[u]] + sz[rc[u]] + 1;
		for(rg int i = 0;i <= sz[lc[u]];i++)
			for(rg int j = 0;j <= sz[rc[u]];j++)
				for(rg int d = 0;i + j + d <= sz[u];d++)	
					Inc(f[u][i+j+d],f[lc[u]][i] * f[rc[u]][j] % mod * C(sz[u]-i-j,d) % mod * P(dh[u],d) % mod);
	}
}T;

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	prepro();
	T.build();
	for(rg int i = 1;i <= n;i++)T.prepro(i);
	T.dfs(T.rt);
	cout << T.f[T.rt][k] << endl;
	return 0;
}