问题一:二叉树任意两个叶子间简单路径最大和
示例:
-100
/
2 100
/
10 20
思路:这个问题适用于递归思路。
首先,将问题简单化:假设包含最大和summax的简单路径经过结点A,结点A必然存在左右子树,设f(node*)函数可以求出子树叶子到子树树根最大和路径,则有summax=A.val+f(A.leftchild)+f(A.rightchild),此时,遍历树中拥有左右子树的节点,并提取最大值即可。
再假设fmax(node*)可以求出以该结点参数为根的树/子树的任意两个叶子间简单路径最大和,则可以分为三种情况:1.最大和路径经过根结点;2.最大和路径在左子树中;3.最大和路径在右子树中。比较三者取出最大值作为fmax函数的返回值。
为了简化代码,使用之前所写的创建二叉树的函数
struct tree_node; struct tree_node{ struct tree_node *lc; struct tree_node *rc; int data; }; typedef struct tree_node treenode; void pre_create_tree(treenode **T){ //递归法 int datatemp; fflush(stdin); scanf("%d", &datatemp); if(datatemp==-1000){ *T=NULL; } else{ if((*T=(treenode*)malloc(sizeof(treenode)))==NULL){ exit(0); } else{ (*T)->data=datatemp; (*T)->lc = (*T)->rc = NULL; pre_create_tree(&(*T)->lc); pre_create_tree(&(*T)->rc); } } } void pre_visit_tree(treenode *T){ //递归法 if(T!=NULL){ printf("%d ", T->data); pre_visit_tree(T->lc); pre_visit_tree(T->rc); } else{ return; } }
这里为了方便,假设输入数据不等于-1000,那么求叶子到树根最大值函数f(node*)如下所示:
int maxpath(treenode *T){ int templc=-100000,temprc=-1000000; if(T==NULL) return INT_MIN; if(T->lc==NULL&&T->rc==NULL) return T->data; if(T->lc!=NULL) templc = T->data+maxpath(T->lc); if(T->rc!=NULL) temprc = T->data+maxpath(T->rc); if(templc>temprc) return templc; else return temprc; }
求解任意叶子简单路径最大和fmax函数实现:
int maxs(treenode *T){ int temproot=0,templc=0, temprc=0; if(T==NULL) return INT_MIN; if(T->lc==NULL||T->rc==NULL){ return INT_MIN; } if(T->lc!=NULL&&T->rc!=NULL){ temproot=maxpath(T->lc)+maxpath(T->rc)+T->data; } templc = maxs(T->lc); temprc = maxs(T->rc); if(temproot>templc) if(temproot>temprc) return temproot; else return temprc; else if(templc>temprc) return templc; else return temprc; }
测试输入:-100 2 10 -1000 -1000 20 -1000 -1000 100
调用maxs函数将返回32。
问题二:我们将问题稍微变化一下,改为求任意结点间简单路径最大和,允许路径只有一个结点。
这时候递归是否有效?答案是肯定的。
看图:
a
/
b c
/ /
bl br cl cr
把树或者子树看成上图的模式,假设我们已经实现一个函数f(node* param),根结点为参数结点param的子树,经过param结点的最大路径和(这里并不需要到达叶子)。
由上图我们对一个结点分3种情况考虑:
1.最大和路径经过结点a,即有四种可能值:a.val,a.val+f(b),a.val+f(c),a.val+f(b)+f(c);
2.最大和路径不经过结点a,且在结点a的左子树内并经过结点b,值为f(b);
3.最大和路径不经过结点a,且在结点a的右子树内并经过结点c,值为f(c)。(情况2,3是不是不需要呢?好像是的,先记着后面来改)
在这六种可能值中,取其最大值作为计算经过结点a的最大值的“可能路径”,然后遍历树中结点即可得到最大数值。
int maxpath2(treenode *T){ int templc=0,temprc=0; if(T==NULL) return -100000; if(T->lc==NULL&&T->rc==NULL) return T->data; if(T->lc!=NULL) templc = maxpath2(T->lc); if(T->rc!=NULL) temprc = maxpath2(T->rc); if(templc<=0&&temprc<=0){ return T->data; } else if(templc>temprc) return T->data+templc; else return T->data+temprc; } int maxs2(treenode *T){ long int temproot=0,templc=0,temprc=0; long int sum[6],max,k; if(T==NULL) return -100000; if(T->lc==NULL&&T->rc==NULL) return T->data; memset(sum, 0, sizeof(int)*6); sum[0] = T->data; sum[1] = maxpath2(T->lc); sum[2] = maxpath2(T->rc); sum[3] = T->data+sum[1]; //sum[4] = T->data+sum[2]; //sum[5] = T->data+sum[1]+sum[2]; for(k=1, temproot=sum[0]; k<4; k++){ if(sum[k]>temproot) temproot = sum[k]; } templc = maxs2(T->lc); temprc = maxs2(T->rc); if(temproot>templc&&temproot>temprc) return temproot; else if(templc>temprc) return templc; else return temprc; }那么我们试试以下面的二叉树为例
-100
/
2 100
/
10 -20
输入为-100 2 10 -1000 -1000 -20 -1000 -1000 100 -1000 -1000
调用maxs2结果就应该为100了(不是12)。