牛顿迭代法求解立方根

//计算一个数字的立方根，不使用库函数
//详细描述：
//接口说明
//原型：
//public static double getCubeRoot(double input)
//输入:double 待求解参数

//返回值:double  输入参数的立方根

牛顿迭代法原理：

对于求a的立方根，可以设f(x)=x^3-a，从而转换成求解f(x)=0，即求方程的根。

f(x)展开泰勒公式：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，得出的x=x0-f(x0)/f'(x0)=g(x0)，此时递归调用该式子可以逐步接近于最终结果。

为什么会接近于最终结果？当然，牛顿迭代并不是无条件收敛的。

首先，要保证f'(x0)!=0，这样f(x)=0将等价于x=x-f(x)/f'(x)。而x_k+1=xk-f(xk)/f'(xk)=g(xk),由迭代过程收敛性定理可得abs(g'(xk))<=L<1(具体证明请读者自行查找)。

g'(x*)=f(x*)*f''(x*)/[f'(x)]^2,x*为f(x)的一个根，所以g‘(x*)=0,g''(x*)=f''(x*)/f'(x*)!=0,只要f’‘(x*)!=0，则牛顿迭代法收敛。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define jingdu 0.0001
double newton_diedai(double a){
	double xn,xn_1;

	xn=1;
	xn_1 = xn-((xn*xn*xn-a)/(3*xn*xn));
	while(xn-xn_1>jingdu || xn-xn_1<-jingdu){
		xn = xn_1;
		xn_1 = xn-((xn*xn*xn-a)/(3*xn*xn));
	}
	return xn_1;
}

int main(void){
	double a;

	scanf("%lf", &a);
	a = newton_diedai(a);
	printf("%.1f", a);

	system("pause");
	return 0;
}