欧拉函数代码实现及扩展--快速矩阵幂

参见博客：http://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html

      https://www.cnblogs.com/wudi-accept/p/5667714.html

欧拉函数的定义:

Φ(n)=小于n的数中与n互质的数的数目。

在写代码之前，我们先看一下，欧拉函数的一个性质

对于任意一个正整数，Φ( n ) = n * (1 - 1 / a₁) * (1 - 1 / a₂) * … * (1 - 1/a_n)。其中，a₁ a₂ … a_n 为所有 n 的质因子

欧拉函数实现代码：

int func(int n)
{
    int temp=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)//是否是质因数
        {
            temp=temp*(i-1)/i;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)temp=temp*(n-1)/n;//如果n!=1,n也是其中一个质因数
    return temp;
}

欧拉函数扩展，求大数快速矩阵幂

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题目描述：

给a,b,c三个数字，求a的b次幂对c取余。

数据范围：多组样例循环输入，每一组输入a,b,c (1<=a,c<=10^9,1<=b<=10^1000000)。

输入：

2 2 2
139123 123124121241452124412124 123121

输出：

0

8984

 

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首先知道一个欧拉函数的一个性质：

a^b%p==a^{b%Φ(p)+Φ(p)}%p  (证明不会，还请大佬留言)

快速矩阵幂算法  代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
char b[1000100];
ll func(ll n)//欧拉函数
{
    ll temp=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)//是否是质因数
        {
            temp=temp*(i-1)/i;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)temp=temp*(n-1)/n;//如果n!=1,n也是其中一个质因数
    return temp;
}

ll POW(ll a,ll b,ll p)//快速矩阵幂
{
    ll ans=1;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2!=0)
        {
            ans=ans*a%p;
        }
        b=b>>1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll a,p;
    while(cin>>a)
    {
        scanf("%s%lld",b,&p);
        ll len = strlen(b);
        ll oula = func(p);
        int temp=0;
        for(ll i=0; i<len; i++){ //降幂
            temp = (temp*10+b[i]-'0')%oula;//模运算的性质
        }
        cout<<POW(a,temp+func(p),p)<<endl;
    }

}

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ab%p=ab%(p−1)%p

ab%p=ab%(p−1)%p

ab%p=ab%(p−1)%p