概率图模型1：隐马尔科夫(1)

作者：孙相国

转载请注明出处

参考文献

• 《机器学习郑捷》第11章
• 机器学习周志华 14章
• 《统计学系方法》第10章
• 《概率图模型》第3章贝叶斯网表示和马尔科夫
• 《驾驭文本》

隐马尔科夫模型

两个基本假设：

1. 齐次马尔科夫性假设：隐藏的马尔科夫链在任意时刻(t)的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也与时刻(t)无关。

2. 观测独立性假设：任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测及状态无关。

说人话，就下面这个图，其中箭头和连边表示概率依赖。

从这个图中，我们可以很轻松的对后面的一些公式做推导。比如：

[left( o_{t+1}|o_{1:t},I_{t+1}=q_i ight)=left( o_{t+1}|I_{t+1}=q_i ight) ag{1.1} ]

上面的公式为了书写简便，我们省略掉了概率符号(P)（下同），并且用(o_{1:t})表示(left(o_1,cdots,o_t ight))(下同)。

[left( I_{t+1}=q_i|o_{1:t},I_t=q_j ight)=left( I_{t+1}=q_i|I_t=q_j ight) ag{1.2} ]

[left( o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_i,I_t=q_i ight)=left( o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_i ight) ag{1.3} ]

[left( o_{t+2:T}|I_{t+1}=q_j,o_{t+1} ight)=left( o_{t+2:T}|I_{t+1}=q_j ight) ag{1.4} ]

[left( I_{t+1}|o_{1:t},I_t ight)=left( I_{t+1}|I_t ight) ag{1.5} ]

[left(o_{t+1}|I_{t+1},o_{1:t},I_t ight)=left(o_{t+1}|I_{t+1} ight) ag{1.6} ]

基本定义：

转移概率(a_{ij}=left( I_{t+1}=q_j|I_t=q_i ight))

观测概率(b_jleft(o_t ight)=left(o_t|I_t=q_j ight))

初始状态概率(pi_i=Pleft(I_1=q_i ight))

隐马尔科夫模型的3个基本问题

1. 概率计算
2. 学习问题
3. 预测问题/解码问题

概率计算问题

前向算法

前向概率(alpha_tleft(i ight)=left(o_{1:t},I_t=q_i ight))

转移概率(a_{ij}=left( I_{t+1}=q_j|I_t=q_i ight))

观测概率(b_jleft(o_t ight)=left(o_t|I_t=q_j ight))

初始状态概率(pi_i=Pleft(I_1=q_i ight))

初始前向概率：

[egin{equation}egin{split}alpha_1left(i ight)&=left(o_{1},I_1=q_i ight) \&=left(I_1=q_i ight)left(o_1|I_1=q_i ight)\&=pi_ib_ileft(o_1 ight)end{split} ag{1.8}end{equation} ]

前向概率的迭代推导：

[egin{equation} egin{split} alpha_{t+1}left(i ight)&=left(o_{1:t+1},I_{t+1}=q_i ight) \ &= left(o_{1:t},I_{t+1}=q_i ight)left( o_{t+1}|o_{1:t},I_{t+1}=q_i ight)\ &= left(o_{1:t},I_{t+1}=q_i ight)left( o_{t+1}|I_{t+1}=q_i ight) ext{(由公式(1.1)得来)}\ &=left(o_{1:t},I_{t+1}=q_i ight)b_ileft(o_{t+1} ight)\ &=left(sum_jleft(o_{1:t},I_t=q_j,I_{t+1}=q_i ight) ight)b_ileft(o_{t+1} ight)\ &=left(sum_jleft(o_{1:t},I_t=q_j ight)left(I_{t+1}=q_i|o_{1:t},I_t=q_j ight) ight)b_ileft(o_{t+1} ight)\ &=left(sum_jleft(o_{1:t},I_t=q_j ight)left(I_{t+1}=q_i|I_t=q_j ight) ight)b_ileft(o_{t+1} ight) ext{(由公式(1.2)得来)}\ &=left(sum_jalpha_tleft(j ight)a_{ji} ight)b_ileft(o_{t+1} ight) end{split} ag{1.9} end{equation} ]

终止状态推导：

[egin{equation} egin{split} Pleft(O |lambda ight)&=left(o_{1:T}|lambda ight) \ &=sum_i^N left(o_{1:t},I_{T}=q_i ight)\ &=sum_i^Nalpha_Tleft(i ight) end{split} ag{1.10} end{equation} ]

算法1.1(观测序列概率的前向算法)

输入：隐马尔科夫模型(lambda)，观测序列(O)；

输出：观测序列概率(Pleft( O|lambda ight))。

1. 根据公式((1.8))，设定初值。

2. 根据公式((1.9))递推。其中(t=1,2,cdots,T-1)。

3. 终止。根据公式((1.10))得到输出。

python实现（李航《统计学习方法》177页例题10.2）：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
"""
@author: XiangguoSun
@contact: sunxiangguodut@qq.com
@file: forward_prob.py
@time: 2017/3/13 8:53
@software: PyCharm
"""
import numpy as np


def forward_prob(model, Observe, States):
    '''
    马尔科夫前向算法
    '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    alpha = pi*B[:, Observe[0]]
    print "（1）计算初值alpha_1(i):   ",alpha

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(0, T-1):
        print "t=", t+1,"   alpha_",t+1,"(i):",alpha
        alpha = alpha.dot(A)*B[:, Observe[t+1]]

    print "(3)终止。alpha_",T,"(i):    ", alpha
    print "输出Prob:  ",alpha.sum()
    return alpha.sum()


if __name__ == '__main__':
    A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                  [0.3, 0.5, 0.2],
                  [0.2, 0.3, 0.5]])

    B = np.array([[0.5, 0.5],
                  [0.4, 0.6],
                  [0.7, 0.3]])

    pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

    model = (A, B, pi)

    Observe = np.array([0, 1, 0])

    States = np.array([1, 2, 3])

    forward_prob(model,Observe,States)

后向算法

后向概率：(eta_tleft( i ight)=left( o_{t+1:T}|I_t=q_i ight))

初始后向概率：(eta_Tleft(i ight)=1,i=1,2,cdots,N)

后向概率迭代推导：

[egin{equation} egin{split} eta_tleft(i ight)&=left(o_{t+1:T}|I_t=q_i ight) \ &=sum_j^N left(o_{t+1:T},I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i ight)\ &=sum_j^Nleft(I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i ight) left(o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_j,I_{t}=q_i ight)\ &=sum_j^Nleft(I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i ight) left(o_{t+1:T}|I_{t+1}=q_j ight) ext{(由公式(1.3)得到)}\ &=sum_j^Nleft(I_{t+1}=q_j|I_{t}=q_i ight) left(o_{t+1}|I_{t+1}=q_j ight)left(o_{t+2:T}|I_{t+1}=q_j，o_{t+1} ight)\ &=sum_j^N a_{ij} b_jleft(o_{t+1} ight) eta_{t+1}left(j ight) end{split} ag{1.11} end{equation} ]

终止状态推导：

[egin{equation} egin{split} Pleft(O|lambda ight)&=left(o_{1:T}|lambda ight) \ &=sum_{i=1}^N left(o_{1:T},I_{1}=q_i ight)\ &=sum_{i=1}^N left(I_1=q_i ight)left(o_{1:T}|I_{1}=q_i ight)\ &=sum_{i=1}^N left(I_1=q_i ight)left(o_1|I_1=q_i ight)left(o_{2:T}|o_1,I_{1}=q_i ight)\ &=sum_{i=1}^Npi_i b_ileft(o_i ight)left(o_{2:T}|I_{1}=q_i ight)\ &=sum_{i=1}^Npi_i b_ileft(o_i ight)eta_1left(i ight) end{split} ag{1.12} end{equation} ]

算法1.2(观测序列概率的后向算法)

输入：隐马尔科夫模型(lambda)，观测序列(O)；

输出：观测序列概率(Pleft( O|lambda ight))。

1. 设定后向概率初值为1。
2. 根据公式((1.11))递推。其中(t=T-1,T-2,cdots,1)。
3. 终止。根据公式((1.12))得到输出。

python实现（李航《统计学习方法》177页例题10.2）：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
"""
@author: XiangguoSun
@contact: sunxiangguodut@qq.com
@file: markov.py
@time: 2017/3/13 8:53
@software: PyCharm
"""
import numpy as np


def forward_prob(model, Observe, States):
    '''
    马尔科夫前向算法
    '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    alpha = pi*B[:, Observe[0]]
    print "（1）计算初值alpha_1(i):   ",alpha

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(0, T-1):
        alpha = alpha.dot(A)*B[:, Observe[t+1]]
        print "t=", t + 1, "   alpha_", t + 1, "(i):", alpha

    print "(3)终止。alpha_",T,"(i):    ", alpha
    print "输出Prob:  ",alpha.sum()
    return alpha.sum()


def backward_prob(model,Observe,States):
    '''
      马尔科夫后向算法
      '''

    A, B, pi = model
    N = States.size
    T = Observe.size

    beta = np.ones((N,))  # beta_T
    print "（1）计算初值beta_",T,"(i):   ", beta

    print "(2) 递推..."
    for t in xrange(T - 2, -1, -1):  # t=T-2,...,0
        beta = A.dot(B[:, Observe[t + 1]] * beta)
        print "t=", t + 1, "   beta_", t + 1, "(i):", beta

    print "(3)终止。alpha_", 1, "(i):    ", beta
    prob = pi.dot(beta * B[:, Observe[0]])
    print "输出Prob:  ", prob
    return prob


if __name__ == '__main__':


    A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3],
                  [0.3, 0.5, 0.2],
                  [0.2, 0.3, 0.5]])

    B = np.array([[0.5, 0.5],
                  [0.4, 0.6],
                  [0.7, 0.3]])

    pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

    model = (A, B, pi)

    Observe = np.array([0, 1, 0])

    States = np.array([1, 2, 3])

    forward_prob(model,Observe,States)

    backward_prob(model, Observe, States)

实验结果：