求最小函数依赖集

//新编数据库原理习题与解析 李春葆

例：求F＝{ABD→AC，C→BE，AD→BF，B→E}的最小函数依赖集F_m

注意：当在函数依赖已经改变的地方开始一个新步骤时，重写函数依赖集很重要，这样可以在下一步中方便引用。

第一步    对F中的函数依赖运用分解原则来创建一个等价函数依赖集H，该集合中每一个函数依赖的右部是单个属性：

H＝｛①ABD→A，②ABD→C，③C→B，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝

第二步  考察每一个函数依赖是否是必须的，去除非必要的函数依赖

（1）      ABD→A是平凡的函数依赖（就是A是ABD的子集，所以他是平凡的依赖），所以显然是非必要的函数依赖，因此去除。保留在H中的函数依赖是H＝｛②ABD→C，③C→B，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝

（2）      考察ABD→C，去掉此函数依赖将会得到新的函数依赖集J＝｛③C→B，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝。如果ABD→C是非必要的，则(ABD)J+=ABDFE，不包含C，因此ABD→C是必要的函数依赖，不能去掉。

H＝｛②ABD→C，③C→B，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝

（3）   考察C→B，J＝｛②ABD→C，④C→E，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝(C)J+=CE，不包含B，因此C→B是必要的函数依赖，保留在H中。

（4）   考察C→E，J＝｛②ABD→C，③C→B，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝(C)J+=CBE，包含E，因此是不必要的，去除后得到的函数依赖集为

　　H＝｛②ABD→C，③C→B，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝

（5）       同理考察函数依赖⑤、⑥和⑦，最后得到的函数依赖集为H＝｛②ABD→C，③C→B，⑤AD→B，⑥AD→F，⑦B→E｝。为了第三步方便引用，我们进行重新编号：

H＝｛①ABD→C，②C→B，③AD→B，④ AD→F，⑤ B→E｝。

第三步    考察每一个左部为多个属性的函数依赖，看左部的每个属性是否是必须的，能否用更小的属性集替代原有的属性集。

  首先从函数依赖①ABD→C开始。

（1）      去除A？如果A可以去除，那么可得到新的函数依赖集J＝｛①BD→C，②C→B，③AD→B，④ AD→F，⑤ B→E｝。去掉A后BD在J上的闭包将比在H下函数决定更多的属性，如果(BD)J+=(BD)H+或者C∈(BD)H+，则说明去掉A得到的函数依赖集和原有的函数依赖集是等价的，可以用BD→C替换ABD→C。

(BD)H+＝BDE，不包含C，所以A不能去掉。

（2）      去掉B？J＝｛①AD→C，②C→B，③AD→B，④ AD→F，⑤ B→E｝ 。

(AD)H+=ADBC，包含了B，因此B→C是冗余的函数依赖，所以去除

（3）      去掉D？J＝｛①A→C，②C→B，③AD→B，④ AD→F，⑤ B→E｝。

因为H的函数依赖集在第三步发生了改变，因此我们需要回到第二步。

此时H＝｛①AD→C，②C→B，③AD→B，④ AD→F，⑤ B→E｝。

在进行第二步

其中考察到③，有(AD)H+=ADCB，包含B，因此AD→B是不必要的函数依赖，所以去除

最后

得到的函数依赖集为H=｛AD→C， C→B， AD→F， B→E｝