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  • 数论学习日记一—超快的素数筛选法(改进)

    素数筛选法:

    最近发现了一个用bool数组去判断素数的方法,很强大,速度非常之快,方法是从大佬博客:https://www.cnblogs.com/wpnan/p/4073852.html 截下来的,可以看去看一下。

        素数筛法是这样的:
        1.开一个大的bool型数组prime[],大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false.
        2.然后:
          for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 )
          {   if(prime)
              for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false;
          }
        3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标,就是所求的n以内的素数了。
        原理很简单,就是当i是质(素)数的时候,i的所有的倍数必然是合数。如果i已经被判断不是质数了,那么再找到i后面的质数来把这个质
    数的倍数筛掉。
        一个简单的筛素数的过程:n=301 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 301 步过后2 4 ... 28 30这15个单元被标成false,其余为true。
        第 2 步开始:
         i=3;  由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.
         i=4;  由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。
         i=5;  由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.
         i=6>sqrt(30)算法结束。
        第 3 步把prime[]值为true的下标输出来:
         for(i=2; i<=30; i++)
         if(prime) printf("%d ",i);
        结果是 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

    内容非常清晰明了,利用bool数组去筛选也确实是普通判断素数方法的好几倍,不过观察了一下大佬的代码发现方法还可以有进一步改进,我先将大佬的原代码发上来:

     1 //用了筛法的方法:
     2 #include<stdio.h>
     3 #include<math.h>
     4 #define N 10000001
     5 bool prime[N];
     6 int main()
     7 {
     8    int i, j;
     9    for(i=2; i<N; i++)
    10   if(i%2) prime=false;
    11   else prime=true;
    12    for(i=3; i<=sqrt(N); i+=2)
    13    {   if(prime)
    14        for(j=i+i; j<N; j+=i)
    15 
    16             prime=false;
    17    }
    18    for(i=2; i<100; i++)//由于输出将占用太多io时间,所以只输出2-100内的素数。可以把100改为N
    19     if( prime )
    20 
    21          printf("%d ",i);
    22    return 0;
    23 }

    可以优化的有两个地方,第一是一开始就给bool数组分配了很大的不一定需要的空间,这样有时候是很占内存的,第二就是判断素数的时候可以用位运算去判断,位运算判断奇偶数的速度大概是i%2的4倍左右,改进后的代码如下:

     1 #include<iostream>
     2 #include<math.h>
     3 #include<conio.h>
     4 #include<malloc.h>
     5 using namespace std;
     6 
     7 int main(int argc, const char * argv[])
     8 {
     9     int n;
    10     cin >> n;
    11     bool * num = (bool *)malloc((n + 1) * sizeof(bool));//如果需要判断n以内的素数,就直接分配n+1的空间,这样就可以节省很多内存。
    12     for (int i = 2; i <= n ; i++)
    13     {
    14         if (((1&i)==0) && (i!= 2) ) num[i] = false;//利用位运算判断奇偶
    15         else num[i] = true;
    16     }
    17     for (int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2)
    18     {
    19         if (num[i])
    20             for (int j = i + i; j <= n; j += i)
    21                 num[j] = false;
    22     }
    23     for (int i = 2; i <= n; i++)
    24         if (num[i] == true )cout << i << endl;
    25     _getch();//不是在vs里面运行的不需要加这一行
    26     return 0;
    27 }

    大佬的思路是真的强,没看之前还真不知道可以利用bool数组去加快判断速度,还是有很多地方可以向大佬学习的!

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/xiangqi/p/11102420.html
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