数论学习日记二—利用扩展欧几里得求逆元

最近学习了扩展欧几里得和乘法逆元的关系，在这里写一下巩固一下记忆

 

扩展欧几里得是什么呢，在这就不详解了，可以自行百度，主要来说，对于 求解ax ≡ 1(mod n)来说，当gcd(a,n)=1时，证明逆元存在，若不等于1，则证明逆元不存在。

那么当逆元存在时，我们要如何求它的逆元呢？

 

 

首先是扩展欧几里得定理，先将式子转换成 ax-ny = 1 的形式，然后我们要通过扩展欧几里得定律去获得它的最大公约数，还有它的一组解 X0,Y0

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int mod = exgcd(b, a%b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b)*y;
    return mod;
}

然后是判断

int Inverse_element(int a, int n)
{
    int gcd, x, y;
    gcd = exgcd(a, n, x, y);
    cout << x << endl;
    if (gcd == 1)return (x%n + n) % n;
    else return -1;
}

当gcd == 1时 证明此方程有解，并且前面已经通过扩展欧几里得定理得出了它的一组解 X， 然后我们可以通过(x%n +n )%n 防止 x 是负数情况，保证是以正整数返回。

最后是整个代码，这样，一个简单的求逆元的程序就出来了：

#include<iostream>
#include<malloc.h>
#include<string>
#include<cmath>
#include<conio.h>

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int mod = exgcd(b, a%b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b)*y;
    return mod;
}

int Inverse_element(int a, int n)
{
    int gcd, x, y;
    gcd = exgcd(a, n, x, y);
    cout << x << endl;
    if (gcd == 1)return (x%n + n) % n;
    else return -1;
}

int main(int argc, const char * argv[])
{
    int a, n;
    cin >> a >> n;
    int mod = Inverse_element(a, n);
    cout << mod <<endl;
    _getch();
    return 0;
}