[BZOJ1059][ZJOI2007]矩阵游戏
试题描述
小Q是一个非常聪明的孩子,除了国际象棋,他还很喜欢玩一个电脑益智游戏——矩阵游戏。矩阵游戏在一个N*N黑白方阵进行(如同国际象棋一般,只是颜色是随意的)。每次可以对该矩阵进行两种操作:行交换操作:选择矩阵的任意两行,交换这两行(即交换对应格子的颜色)列交换操作:选择矩阵的任意行列,交换这两列(即交换对应格子的颜色)游戏的目标,即通过若干次操作,使得方阵的主对角线(左上角到右下角的连线)上的格子均为黑色。对于某些关卡,小Q百思不得其解,以致他开始怀疑这些关卡是不是根本就是无解的!!于是小Q决定写一个程序来判断这些关卡是否有解。
输入
第一行包含一个整数T,表示数据的组数。接下来包含T组数据,每组数据第一行为一个整数N,表示方阵的大小;接下来N行为一个N*N的01矩阵(0表示白色,1表示黑色)。
输出
输出文件应包含T行。对于每一组数据,如果该关卡有解,输出一行Yes;否则输出一行No。
输入示例
2 2 0 0 0 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0
输出示例
No
Yes
数据规模及约定
对于100%的数据,N ≤ 200
题解
注意到任何一次交换操作都不会改变任何一行或一列中 1 的个数,就是说我们给矩阵的行和列进行编号,交换位置后编号不变,那么编号为 i 的行(列)中的任何一个元素不会跑到编号为 j(j ≠ i) 的行(列)中去。
好,我们给每行、每列编好号之后,假设最终有解,我们设最终这个主对角线上都是 1 的矩阵的行编号变成了 p1, p2, p3, ... , pn,列编号变成了 q1, q2, q3, ... , qn,其中 p 和 q 都是一个 1~n 的排列(如下图)。
那么在原矩阵中只要满足 A[p1][q1] = A[p2][q2] = A[p3][q3] = ... = A[pn][qn] 就好了,换句话说,就是我们要对于每一个行的编号找到一个只属于它的唯一的列编号,听起来像二分图匹配?那就开写吧!
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; int read() { int x = 0, f = 1; char c = getchar(); while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); } while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); } return x * f; } #define maxn 410 #define maxm 80810 #define oo 2147483647 struct Edge { int from, to, flow; Edge() {} Edge(int _1, int _2, int _3): from(_1), to(_2), flow(_3) {} } ; struct Dinic { int n, m, s, t, head[maxn], nxt[maxm]; Edge es[maxm]; int Q[maxn], hd, tl, vis[maxn]; int cur[maxn]; void init(int n) { this->n = n; m = 0; memset(head, -1, sizeof(head)); return ; } void AddEdge(int a, int b, int c) { es[m] = Edge(a, b, c); nxt[m] = head[a]; head[a] = m++; es[m] = Edge(b, a, 0); nxt[m] = head[b]; head[b] = m++; return ; } bool BFS() { memset(vis, 0, sizeof(vis)); hd = tl = 0; Q[++tl] = s; vis[s] = 1; while(hd < tl) { int u = Q[++hd]; for(int i = head[u]; i != -1; i = nxt[i]) { Edge& e = es[i]; if(e.flow && !vis[e.to]) { vis[e.to] = vis[u] + 1; Q[++tl] = e.to; } } } return vis[t] > 0; } int DFS(int u, int a) { if(u == t || !a) return a; int flow = 0, f; for(int& i = cur[u]; i != -1; i = nxt[i]) { Edge& e = es[i]; if(vis[e.to] == vis[u] + 1 && (f = DFS(e.to, min(a, e.flow)))) { flow += f; a -= f; e.flow -= f; es[i^1].flow += f; if(!a) return flow; } } return flow; } int MaxFlow(int s, int t) { this->s = s; this->t = t; int flow = 0; while(BFS()) { for(int i = 1; i <= n; i++) cur[i] = head[i]; flow += DFS(s, oo); } return flow; } } sol; int main() { int T = read(); while(T--) { int n = read(); sol.init((n << 1) + 2); int s = n << 1 | 1, t = s + 1; for(int i = 1; i <= n; i++) { sol.AddEdge(s, i, 1); sol.AddEdge(i + n, t, 1); for(int j = 1; j <= n; j++) { int x = read(); if(x) sol.AddEdge(i, j + n, 1); } } if(sol.MaxFlow(s, t) == n) puts("Yes"); else puts("No"); } return 0; }