[LOJ#522]「LibreOJ β Round #3」绯色 IOI（危机）

[LOJ#522]「LibreOJ β Round #3」绯色 IOI（危机）

试题描述

IOI 的比赛开始了。Jsp 和 Rlc 坐在一个角落，这时他们听到了一个异样的声音 ……

接着他们发现自己收到了一封电子邮件：

我们在考场上放置了 N 个炸弹。如果建立一个直线坐标系（数轴）的话，第 i 个炸弹的坐标是 X_i​​，爆炸半径是 R_i，当一个炸弹爆炸时，如果另一个炸弹所在位置 X_j​​ 满足：

X_i−R_i≤X_j≤X_i+R_i

那么，炸弹 j 也会被引爆。

若 i 和 j 满足上述关系式，称 i 能直接引爆 j。若 i 不能直接引爆 j，但引爆 i 会导致 j 爆炸，则称 i 能间接引爆 j。

我可以告诉你们，这些炸弹满足一个性质：若引爆炸弹 A 会直接或间接地引爆炸弹 B，则引爆炸弹 B 一定不会直接或间接地引爆炸弹 A。

有能耐就拆掉炸弹吧！记住，如果其它选手有所动作的话，后果你们应该知道！

吃惊的 Jsp 和 Rlc 开始了调（报）查（警）。之后，这些话被证实了。并且两人还发现了另一个性质：

定义炸弹 A 到 B 的“引爆距离”（用 d(A,B) 表示）为最长的满足以下条件的序列 a₁,a₂,...,a_n​​ 的长度：

1. a_i​​ 互不相同，且为 [1,N] 中的整数；
2. a_i​​ 能直接引爆 a_i+1；
3. a₁=A,a_n=B。

那么这个性质可以表述为：若 d(A,B)=3，A 一定能直接引爆 B。

经过进一步研究，Rlc 发现最为安全的方法是这样：首先选出若干个关键炸弹安装监测器，然后慢慢拆除。

因为炸弹的某些特性，安装监测器的炸弹必须组成一个有序序列 a₁,a₂,...,a_n​​，且满足：

1. a_i​​ 互不相同，且为 [1,N] 中的整数。
2. a_i​​ 能直接或间接引爆 a_i+1​​。

Rlc 设计了一个衡量监测器安装方案的安全程度的方法：

首先可以测出每个炸弹的特征值 v_i。
那么监测器安装方案的安全程度为：∑_i=1~n−1F(v_{a_i},v_{a_(i+1)})，其中 $\mathrm{F(x,y)=(x\oplus y+xy) mod 998244353（\oplus 表示二进制按位异或，本题中按位异或的优先级高于乘法和加法）。}$

现在她想知道，对于 [1,N] 中的每个整数 i，如果她安装监测器的最后一个炸弹是 i（即 a_n=i），安全程度最大是多少。

请特别注意，题面中大写的 N 表示炸弹总数，小写 n 表示上下文中的序列长度，请勿混淆。

输入

第一行一个整数 N 表示炸弹个数。
第二行 N 个整数 X₁,X₂,...,X_N，表示炸弹的坐标。
第三行 N 个整数 R₁,R₂,...,R_N，表示炸弹的爆炸半径。
第四行 N 个整数 v₁,v₂,...,v_N，表示炸弹的特征值。

输出

输出 N 行，每行一个整数，第 i 行表示拆除的最后一个炸弹是 i 时的最大安全程度。

输入示例

6
-3 -2 0 2 3 4
0 1 4 1 0 1
4 1 3 4 2 0

输出示例

19
5
0
19
33
3

数据规模及约定

对于所有数据，1≤N≤3×10⁵,0≤vi<998244353,0≤R_i≤10¹⁸,∣X_i∣≤10¹⁸​​。

题解

这道题题意如此长，其实是想方设法创造条件让暴力 AC。。。

首先根据性质 1，它是个 DAG，自然会想到 dp。

然后根据性质 1&3，因为两个炸弹不能互相炸到对方，假设炸弹 A 的范围包含了 B，那么 B 的半径（记做 B_r）一定小于 A_r 的一半，以此类推，会发现对于任意两个炸弹 u, v，如果 u 直接炸到了 v，那么从 v 向 u 连边，那么这个图的最长路径长度不会超过 log max{ R_i }。

发现直接连边数太多了，过不了（大概有 45 分），那么我们直连哪些直接炸到的并且离得最近的边（这个可以从左到右、从右到左扫一遍分别维护 X_i + R_i 和 X_i - R_i 递减和递增的单调栈），这样边数就是 O(n) 的了（证明比较简单，详见 LOJ 官方题解）。

dp 转移的时候暴力沿着路径 dfs 一下，沿途中遇到所有的 dp 值都用来更新一下就好了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long

LL read() {
	LL x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 300010
#define maxm 600010
#define LL long long
#define hzt1 998244353

int n, m, head[maxn], nxt[maxm], to[maxm], perm[maxn];
LL X[maxn], R[maxn], v[maxn];

void AddEdge(int a, int b) {
	to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
	return ;
}

int S[maxn], top;
LL f[maxn];
void dfs(int st, int u);
LL search(int u);
void dfs(int st, int u) {
//	printf("u: %d
", u);
	f[st] = max(f[st], search(u) + ((v[st] ^ v[u]) + v[st] * v[u]) % hzt1);
	for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) dfs(st, to[e]);
	return ;
}
LL search(int u) {
	if(f[u] >= 0) return f[u];
	f[u] = 0;
	for(int e = head[u]; e; e = nxt[e]) dfs(u, to[e]);
	return f[u];
}

bool cmp(int a, int b) { return X[a] < X[b]; }

int main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) X[i] = read(), perm[i] = i;
	for(int i = 1; i <= n; i++) R[i] = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) v[i] = read();
	sort(perm + 1, perm + n + 1, cmp);
	
//	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld %lld [%d]
", X[perm[i]], R[perm[i]], perm[i]);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		while(top && X[S[top]] + R[S[top]] < X[perm[i]]) top--;
		if(top) AddEdge(perm[i], S[top]); // , printf("type1: %d -> %d
", perm[i], S[top]);
		while(top && X[S[top]] + R[S[top]] <= X[perm[i]] + R[perm[i]]) top--;
		S[++top] = perm[i];
	}
	top = 0;
	for(int i = n; i; i--) {
		while(top && X[S[top]] - R[S[top]] > X[perm[i]]) top--;
		if(top) AddEdge(perm[i], S[top]); // , printf("type2: %d -> %d
", perm[i], S[top]);
		while(top && X[S[top]] - R[S[top]] >= X[perm[i]] - R[perm[i]]) top--;
		S[++top] = perm[i];
	}
	memset(f, -1, sizeof(f));
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld
", search(i));
	
	return 0;
}

我还是第一次写代码让两个函数互相调用。。。