[LOJ#526]「LibreOJ β Round #4」子集
试题描述
qmqmqm有一个长为 n 的数列 a1,a2,……,an,你需要选择集合{1,2,……,n}的一个子集,使得这个子集中任意两个元素 i,j 均满足条件 gcd(ai,aj)×gcd(ai+1,aj+1)≠1,其中gcd(i,j)表示最大公约数,且这个子集的元素个数是所有满足上述条件的子集中最多的。输出这个子集的元素个数。
输入
输入的第一行包含一个正整数n。 随后n行,每行一个正整数ai。
输出
输出一个整数代表符合条件的元素最多的子集的元素个数。
输入示例
4 4 6 1 9
输出示例
3
数据规模及约定
1≤n≤500
1≤ai≤1018
题解
直接建图(若 (i, j) 符合 gcd(ai,aj)×gcd(ai+1,aj+1)≠1 则在 i 和 j 之间添边),然后跑最大团。然而我并不会强剪枝。
于是考虑建补图,然后找最大独立集。对于补图,i, j 之间存在边当且仅当 gcd(ai,aj)=1 且 gcd(ai+1,aj+1)=1,若 ai 和 aj 同奇偶,则 ai 和 aj 都是偶数或 ai+1 和 aj+1 都是偶数,不可能存在边 (i, j),所以这个补图就是一个二分图。根据“最大独立集 = n - 最小点覆盖 = n - 最大匹配”可求得答案。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; #define LL long long LL read() { LL x = 0, f = 1; char c = getchar(); while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); } while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); } return x * f; } #define maxn 510 #define maxm 500010 #define oo 2147483647 struct Edge { int from, to, flow; Edge() {} Edge(int _1, int _2, int _3): from(_1), to(_2), flow(_3) {} }; struct Dinic { int n, m, s, t, head[maxn], nxt[maxm]; Edge es[maxm]; int vis[maxn], Q[maxn], hd, tl; int cur[maxn]; void init() { m = 0; memset(head, -1, sizeof(head)); return ; } void setn(int _) { n = _; return ; } void AddEdge(int a, int b, int c) { es[m] = Edge(a, b, c); nxt[m] = head[a]; head[a] = m++; es[m] = Edge(b, a, 0); nxt[m] = head[b]; head[b] = m++; return ; } bool BFS() { memset(vis, 0, sizeof(vis)); vis[s] = 1; hd = tl = 0; Q[++tl] = s; while(hd < tl) { int u = Q[++hd]; for(int i = head[u]; i != -1; i = nxt[i]) { Edge& e = es[i]; if(e.flow && !vis[e.to]) { vis[e.to] = vis[u] + 1; Q[++tl] = e.to; } } } return vis[t] > 0; } int DFS(int u, int a) { if(u == t || !a) return a; int flow = 0, f; for(int& i = cur[u]; i != -1; i = nxt[i]) { Edge& e = es[i]; if(vis[e.to] == vis[u] + 1 && (f = DFS(e.to, min(a, e.flow)))) { flow += f; a -= f; e.flow -= f; es[i^1].flow += f; if(!a) return flow; } } return flow; } int MaxFlow(int _s, int _t) { s = _s; t = _t; int flow = 0; while(BFS()) { for(int i = 1; i <= n; i++) cur[i] = head[i]; flow += DFS(s, oo); } return flow; } } sol; LL A[maxn]; LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int main() { int n = read(); for(int i = 1; i <= n; i++) A[i] = read(); sol.init(); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = i + 1; j <= n; j++) if(gcd(A[i], A[j]) == 1 && gcd(A[i] + 1, A[j] + 1) == 1) { int a = i, b = j; if(A[a] & 1) swap(a, b); sol.AddEdge(a, b, 1); // even -> odd } int s = n + 1, t = n + 2; for(int i = 1; i <= n; i++) if(A[i] & 1) sol.AddEdge(i, t, 1); else sol.AddEdge(s, i, 1); sol.setn(n + 2); printf("%d ", n - sol.MaxFlow(s, t)); return 0; }